- Алгебра Кэли
-
А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается , поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.
Число Кэли — это линейная комбинация элементов . Каждая октава x может быть записана в форме
с вещественными коэффициентами . Октонионы находят применение в физике: например, в СТО и теории струн[1]. Таблица умножения элементов октавы:
1 i (e1) j (e2) k (e3) l (e4) il (e5) jl (e6) kl (e7) i (e1) −1 k −j il −l −kl jl j (e2) −k −1 i jl kl −l −il k (e3) j −i −1 kl −jl il −l l (e4) −il −jl −kl −1 i j k il (e5) l −kl jl −i −1 −k j jl (e6) kl l −il −j k −1 −i kl (e7) −jl il l −k −j i −1 Таблица (Кэли) умножения октонионов[2]
e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e1 -1 e3 −e2 e5 −e4 −e7 e6 e2 −e3 -1 e1 e6 e7 −e4 −e5 e3 e2 −e1 -1 e7 −e6 e5 −e4 e4 −e5 −e6 −e7 -1 e1 e2 e3 e5 e4 −e7 e6 −e1 -1 −e3 e2 e6 e7 e4 −e5 −e2 e3 -1 −e1 e7 −e6 e5 e4 −e3 −e2 e1 -1 Часто числа могут заменяться буквенным обозначением:
Число 1 2 3 4 5 6 7 Буквы i j k l il jl kl Замена i j k l m n o Содержание
Свойства
- По теореме Фробениуса, алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.
- Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.
Сопряжение и норма
Пусть дан октонион
Операция сопряжения октониона определена равенством
Операция сопряжения удовлетворяет равенствам
Вещественная часть октониона определена равенством
и мнимая часть октониона определена равенством
Норма октониона определена равенством
- .
Легко убедиться, что норма неотрицательное вещественное число
Следовательно, тогда и только тогда, когда .
Из определения нормы следует, что октонион обратим и
История
Впервые рассмотрена в 1843 Грейвсом, приятелем[3] Гамильтона, а двумя годами позже независимо Кэли.
Ссылки
- ↑ Ian Stewart: The Missing Link (англ.). Ссылка недоступна по состоянию на 6 ноября 2010.
Статья The missing link на yahoo.com, русский перевод на scientific.ru. - ↑ Антисимметрия по диагонали для -1
- ↑ Куда же спряталась самая свободная алгебра? (HTML) (26-01-2003). Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.
- Джон С. Баэз «Октонионы», см. «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике» №1(5), Vol 3(2006) с.120-176.
Числовые системы Счётные
множестваНатуральные числа () • Целые () • Рациональные () • Алгебраические () • Периоды • Вычислимые • Арифметические Вещественные числа
и их расширенияВещественные () • Комплексные () • Кватернионы () • Числа Кэли (октавы, октонионы) () • Седенионы () • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.) Другие
числовые системыКардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа См. также Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион Алгебра над кольцом Математика 2-мерная Элементы: Комплексные числа 4-мерная Элементы: Кватернионы 8-мерная Элементы: Числа Кэли (октонионы или октавы) 16-мерная Элементы: Седенионы См. также Гиперкомплексное число • Алгебра • Тело (алгебра) • Число • мнимая единица Теория множеств Категории:- Теория колец
- Гиперкомплексные числа
Wikimedia Foundation. 2010.