- Лемма Ферма
-
Ле́мма Ферма́ утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.
Содержание
Предыстория
У Ньютона этот факт упоминался как т.н. принцип остановки[1]:
Когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течёт ни вперёд, ни назад. Выдвинут Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах[2].
Формулировка
Пусть функция имеет во внутренней точке области определения локальный экстремум. Пусть также существуют односторонние производные конечные или бесконечные. Тогда
- если — точка локального максимума, то
- если — точка локального минимума, то
В частности, если функция имеет в производную, то
Доказательство
Предположим, что . Тогда .
Поэтому:
- ,
- .
Если производная определена, то получаем
- ,
то есть
Замечание
Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно.
Примеры
- Пусть Тогда — точка локального минимума, и
- Пусть Тогда — точка локального минимума, и
- Пусть Тогда
но точка не является точкой локального экстремума.
См. также
Примечания
- ↑ Фихтенгольц Г. М. Глава XIV. Исторический очерк возникновения основных идей математического анализа // Основы математического анализа. — 4-е изд. — СПб.: «Лань», 2002. — Т. 1. — С. 423. — 448 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — 5000 экз. — ISBN 5-9511-0010-0
- ↑ Исаак Ньютон Примечания переводчика // Исаак Ньютон. Математические работы = Isaaci Newtoni, Opuscula mathematica, philosophica et philologica, t. I, Lausannae et Geuevae 1744 / Перевод с латинского, вводная статья и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского.. — М.—Л.: ОНТИ, 1937. — С. 318. — 452 с. — (Классики естествознания).
Категории:- Математический анализ
- Теоремы
- если — точка локального максимума, то
Wikimedia Foundation. 2010.