Непрерывная дифференцируемость
- Непрерывная дифференцируемость
-
Дифференци́руемая фу́нкция в математическом анализе — это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.
Определения
- где o(x − x0) обозначает величину, пренебрежимо малую по сравнению с x − x0 при Если f дифференцируема в x0, пишут
- Линейное отображение где A — константа из предыдущего определения, называется дифференциа́лом функции f в точке x0 и обозначается df(x0).
- Функция z = f(x;y) называется дифференцируемой в точке M(x;y), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
Δz = AΔx + BΔy + αΔx + βΔy,
где и при ,
Свойства
- Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того
- Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.
- Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть
- Обратное, вообще говоря, неверно.
Касательная прямая
График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)
-
Из определения дифференцируемой функции вытекает, что она может быть хорошо приближена в окрестности рассматриваемой точки линейной функцией, чей график является прямой. Функция , задаваемая уравнением fl(x) = f(x0) + (f)'(x0)(x − x0), называется касательной к функции f в точке x0.
Примеры
- Функция f(x) = x2 определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, имеет место представление
- f(x) = f(x0) + 2x0(x − x0) + (x − x0)2.
- Таким образом имеем: f'(x0) = 2x0. Уравнение касательной для этой функции имеет вид: . Дифференциал этой функции задаётся формулой: df(x0)(h) = 2x0h.
- Функция f(x) = | x | является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке x0 = 0, её производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определён и её дифференциал.
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation.
2010.
Полезное
Смотреть что такое "Непрерывная дифференцируемость" в других словарях:
Дифференцируемая функция — Дифференцируемая (в точке) функция это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является… … Википедия
НЕЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — отображение А векторного (как правило) пространства Xв векторное пространство Yнад общим полем скаляров, не обладающее свойством линейности, т. е. такое, что, вообще говоря, Если есть множество действительных чисел или комплексных чисел , то Н. о … Математическая энциклопедия
Дифференциальное исчисление — раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 … Большая советская энциклопедия
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЕ — уравнение, в к ром неизвестной является функция от одного независимого переменного, причем в это уравнение входят не только сама неизвестная функция, но и ее производные различных порядков. Термин дифференциальные уравнения был предложен Г.… … Математическая энциклопедия
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ — уравнение вида где A0(t), A1(t).при каждом t линейные операторы в банаховом пространстве Е, g(t) заданная, a u(t) искомая функции со значениями в Е;производная ипонимается как предел по норме Еразностного отношения. 1. Линейное дифференциальное… … Математическая энциклопедия
Приближение функций комплексного переменного — раздел комплексного анализа, изучающий вопросы приближённого представления (аппроксимации) функций комплексного переменного посредством аналитических функций (См. Аналитические функции) специальных классов. Центральная проблематика… … Большая советская энциклопедия
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу… … Математическая энциклопедия
НЕДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ — функция, не имеющая дифференциала. В случае функций одного переменного Н. ф. это функция, не имеющая производной. Напр., функция не дифференцируема в точке , вместе с тем она дифференцируема в этой точке как слева, так и справа, т. е. имеет в… … Математическая энциклопедия
Модуль непрерывности — Для любой функции , определённой на множестве , можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого . Модуль непрерывности тоже функция, по определению равная или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из дли … Википедия