- Обыкновенные дифференциальные уравнения
-
Обыкнове́нные дифференциа́льные уравне́ния (ОДУ) — это дифференциальное уравнение вида , где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени , штрих означает дифференцирование по . Число называется порядком дифференциального уравнения.
Решением дифференциального уравнения называется n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительные условие: например, потребовать, чтобы решение принимало в данной точке данное значение.
Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для ОДУ, методы решения простейших ОДУ, качественное исследование решений ОДУ без нахождения их явного вида.
Содержание
Примеры
- Одно из простейших применений дифференциальных уравнений — решение нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проекциям ускорения. Например, в соответствии со вторым законом Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме действующих сил; соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид . Зная действующие силы (правая часть), можно решить это уравнение и, учитывая начальные условия (координаты и скорость в начальный момент времени), найти траекторию движения точки.
- Дифференциальное уравнение y' = y, вместе с начальным условием y(0) = 1, задаёт экспоненту: y(x) = ex. Если x обозначает время, то эта функция описывает рост популяции в условиях неограниченности ресурсов.
- Решением дифференциального уравнения y' = f(x), правая часть которого не зависит от неизвестной функции, является неопределённый интеграл: , где C — произвольная константа.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися (отделяющимися) переменными, если его правая часть представима в виде f(x,y) = f1(x)f2(y). Тогда, в случае , общим решением уравнения является .
Примеры физических задач, приводящих к уравнениям с разделяющимися переменными
Охлаждение тела
Пусть T — температура тела, T0 — температура окружающей среды (T > T0). Пусть Q — количество теплоты, c — удельная теплоёмкость. Тогда количество теплоты передаваемое окружающей среде до выравнивания температур выражается формулой Q = mc(T − T0), или, в дифференциальной форме, . С другой стороны скорость отдачи тепла можно выразить в виде , где k — некий коэффициент пропорциональности. Исключая из этих двух уравнений dQ получаем уравнение с разделяющимися переменными:
- .
Общим решением этого уравнения является семейство функций .
Однородные уравнения
Дифференциальное уравнение называется однородным, если — однородная функция нулевой степени. Функция называется однородной степени , если для любого выполняется равенство .
Замена приводит при однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными:
Подставив в исходное уравнение, получаем:
-
- ,
- ,
что является уравнением с разделяющимися переменными.
Квазиоднородные уравнения
Дифференциальное уравнение называется квазиоднородным, если для любого выполняется соотношение .
Данное уравнение решается заменой :
В силу квазиоднородности, положив , получаем:
-
- ,
- ,
что, очевидно, является однородным уравнением.
Линейные уравнения
Дифференциальное уравнение называется линейным и может быть решено двумя методами: методом интегрирующего множителя или методом вариации постоянной.
Метод интегрирующего множителя
Пусть задана функция - интегрирующий множитель, в виде:
Умножим обе части исходного уравнения на , получим:
Легко заметить, что левая часть является производной функции по . Поэтому уравнение можно переписать:
Проинтегрируем:
Таким образом, решение линейного уравнения будет:
Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)
Рассмотрим однородное уравнение . Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, его решение:
Решения исходного уравнения будем искать в виде:
Подставив полученное решение в исходное уравнение:
-
- ,
- ,
получаем:
-
- ,
- ,
где c1 — произвольная константа.
Таким образом, решение исходного уравнения можно получить путем подстановки в решение однородного уравнения:
Уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение называется уравнением Бернулли, если n — действительное число, отличающееся от 0 и 1, так как при n = 0 и n = 1 уравнение обращается в линейное. Данное уравнение решается двумя способами:
Первый способ
Заменой
-
- .
уравнение приводится к линейному
и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.
Второй способ
Заменим
-
- y = uv.
- y = uv.
Тогда
-
- .
- .
Подберем так, чтобы было
для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка.
После этого для определения получаем уравнение — уравнение с разделяющимися переменными.См. также
- Автономная система дифференциальных уравнений
- Дифференциальное уравнение в частных производных
- Матрицант
- Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений используется Метод Лагранжа.
- Метод Эйлера
- Метод Рунге — Кутта
Литература
- Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. С. 176. ISBN 5-93972-008-0
Wikimedia Foundation. 2010.