Остаток от деления

Остаток от деления в арифметике  — один из результатов операции деления с остатком. Образуется, если результат деления не может быть выражен целым числом, при этом остаток от деления должен быть по абсолютной величине меньше делителя. В случае, если числа делятся друг на друга без остатка, или нацело, то считают, что остаток равен нулю. Термин применяется также при делении многочленов.

Натуральные числа

Остатком называется неотрицательное число, которое в сумме с произведением неполного частного и делителя даёт делимое. То есть,

если $a,b\in \mathbb{N}, b\ne 0$, то $~a = p b+q$, где $0\leqslant q<b$, то есть $~a$ при делении на $~b$ даёт (неполное) частное $~p$ и остаток $~q$.

Остаток от деления a на b можно явно выразить через функцию «пол»:

$q = a - \lfloor a/b \rfloor\cdot b.$

Примеры

• При делении 7 на 2, неполным частным является 3, а остатком 1 (формально $7:2 = 3$, остаток 1), так как $7=3*2 + 1$
• При делении 56 на 7, частным является 8, а остатком 0 (формально $56 : 7 = 8$, остаток 0), так как $56=7*8 + 0$
• При делении 13 на 10, неполным частным является 1, а остатком 3 (формально $13 : 10 = 1$, остаток 3), так как $13=10*1 + 3$

Обобщения

Целые числа

Формула

$q = a - \lfloor a/b \rfloor\cdot b$

даёт обобщение понятия остатка на случай деления целого числа a на целое число b. При этом выполняется соотношение $a = p b+q$ и неравенство $0\leqslant q<|b|$.

Вещественные числа

Если два числа $a$ и $b$ (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, $a$ может быть поделено на $b$ без остатка, при этом частное является также вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.

Формально:

если $a,b\in \mathbb{R}, b\ne 0$, то $~a = p b+q$, где $0\leqslant q< |b|$

Пример:

$~ 7{,}9 : 2{,}1 = 3$ (остаток 1,6)

Многочлены

При делении двух полиномов $f(x)$ и $g(x)$ степень остаточного полинома должна быть строго меньше степени делителя:

$f(x) = q(x) g(x) + r(x) \quad$, причём $\quad \deg(r) < \deg(g).$

Пример

$2x^2 + 4x + 5 =(2x + 2)(x + 1) + 3$ (здесь остатком является свободный член)

См. также

• Деление с остатком
• Сравнение по модулю
• Алгоритм Евклида