- Теорема синусов
-
Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Теорема утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, или, в расширенной формулировке:
Для произвольного треугольника
где , , — стороны треугольника, — соответственно противолежащие им углы, а — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
ДоказательствоДостаточно доказать, что
Проведем диаметр для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол прямой, а угол равен либо , если точки и лежат по одну сторону от прямой , либо в противном случае. Поскольку , в обоих случаях получаем
- .
Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:
Содержание
Вариации и обобщения
- В -мерном симплексе имеется соотношение
- где — радиус описанной сферы; — радиус описанной -мерной сферы -грани; — угловой радиус описанного конуса вокруг -ой вершины.
История
Самое древнее доказательство для теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке[1]. Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке[2]. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере[3].
См. также
- Решение треугольников
- Теорема косинусов
- Теорема котангенсов
- Теорема синусов (сферическая геометрия)
- Теорема тангенсов
Примечания
- ↑ Berggren J. Lennart Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 9780691114859
- ↑ Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000) «Islamic mathematics» pp. 137— , page 157, in Selin, Helaine & D'Ambrosio, Ubiratan (2000), «Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics», Springer, ISBN 1402002602
- ↑ Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani
Категории:- Теоремы
- Геометрия треугольника
- Тригонометрия
Wikimedia Foundation. 2010.