- Теорема Дирихле о единицах
-
Теорема Дирихле о единицах — теорема алгебраической теории чисел, описывающая ранг подгруппы обратимых элементов (единиц) кольца алгебраических целых числового поля .
Формулировка
Пусть — числовое поле (т. е., конечное расширение ), а — его кольцо целых чисел. Тогда ранг группы обратимых элементов равен , где — число различных вложений в поле вещественных чисел , а — число пар комплексно-сопряжённых различных вложений в , не являющихся чисто вещественными.
Следствия и обобщение
В частности, поскольку для расширения степени n выполнено , то , причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда все вложения в чисто вещественные.
Существование нетривиальных целых решений уравнения Пелля выводится из этой теоремы, применённой к — квадратичному расширению .
Случай группы единиц максимального ранга связан[1] с многомерными цепными дробями.
Литература
- ↑ В. И. Арнольд Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2001. — С. 35. — ISBN 5-94057-014-3
- Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — С. 237.
Категории:- Алгебра
- Теория чисел
Wikimedia Foundation. 2010.