- Формула конечных приращений
-
Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что
- .
Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.
Механическое истолкование: Пусть — расстояние точки в момент от начального положения. Тогда есть путь, пройденный с момента до момента , отношение — средняя скорость за этот промежуток. Значит, если скорость тела определена в любой момент времени , то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке.
Доказательство
Для функции одной переменной:
Введем функцию . Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю:
что и требовалось доказать.
Следствия и обобщения
Теорема Лагранжа о конечных приращениях - одна из самых важных, узловая теорема во всей системе дифференциального исчисления. Она имеет массу приложений в вычислительной математике, и главнейшие теоремы математического анализа также являются её следствиями.
Следствие 1. Дифференцируемая на отрезке функция с производной, равной нулю, есть константа.
Доказательство. Для любых и существует точка , такая что . Значит, при всех и верно равенство .
Следствие 2 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Если функция дифференцируема раз в окрестности точки , то для малых (т.е. тех, для которых отрезок лежит в указанной окрестности) справедлива формула Тейлора:
где - некоторое число из интервала .
Замечание. Данное следствие является в то же время и обобщением. При из него получается сама теорема Лагранжа о конечных приращениях.
Следствие 3 (Формула Ньютона-Лейбница). Если функция дифференцируема на отрезке и её производная интегрируема по Риману на этом отрезке, то справедлива формула: .
Доказательство. Пусть - произвольное разбиение отрезка . Применяя теорему Лагранжа, на каждом из отрезков найдём точку такую, что .
Суммируя эти равенства, получим:
Cлева стоит интегральная сумма Римана для интеграла и заданного отмеченного разбиения. Переходя к пределу по диаметру разбиения, получим формулу Ньютона-Лейбница.
Замечание. Следствием (и обобщением) формулы Ньютона-Лейбница является формула Стокса, а следствием формулы Стокса является интегральная теорема Коши - основная теорема теории аналитических функций (ТФКП).
Следствие 4 (Теорема об оценке конечных приращений). Пусть отображение непрерывно дифференцируемо в выпуклой компактной области пространства . Тогда .
Замечание. Без использования теоремы об оценке конечных приращений не обходятся доказательства таких теорем, как теорема об обратном отображении, теорема о неявной функции, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
См. также
- Лагранж, Жозеф Луи
- Теорема Коши — расширенный вариант этой теоремы.
Категории:- Математический анализ
- Теоремы
- Доказательства
Wikimedia Foundation. 2010.