- Кольцо (теория множеств)
-
В теории множеств кольцом называют непустую систему множеств R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов A, B из кольца элементы и тоже будут лежать в кольце.
Содержание
Свойства колец
- Пустое множество принадлежит любому кольцу (так как ).
- Объединение конечного числа элементов кольца принадлежит кольцу, так как .
- Разность элементов кольца также принадлежит кольцу, так как .
- Прямое произведение колец является полукольцом, но не обязано быть кольцом.
Расширения и сужения понятия
Кольцо является частным случаем полукольца. Более того, каждое полукольцо добавлением какого-то количества элементов можно превратить в кольцо. Минимальным кольцом, порождённым данным полукольцом S, называется такое R, что его содержит любое кольцо, содержащее S. Для каждого полукольца S такое R существует и единственно, оно состоит из всевозможных конечных объединений элементов S.
Алгеброй называется кольцо с единицей, то есть таким элементом E, что пересечение E с любым элементом A равно A. Сигма-кольцом называется кольцо, замкнутое относительно счётных объединений элементов, а дельта-кольцом — замкнутое относительно счётных пересечений. Аналогично определяется сигма-алгебра (при этом любая дельта-алгебра является сигма-алгеброй и наоборот).
Примеры
- Борелевская сигма-алгебра множеств на прямой
- Булеан
См. также
- Единица кольца
Категория:- Теория множеств
Wikimedia Foundation. 2010.