P-волна

Р-волны представляют собой тип упругих волн, которые могут проходить через газы (как звуковые волны), твердые тела и жидкости. Название Р-волны часто по ошибке путают с первичными волнами, так как они имеют самую высокую скорость $v_p$, следовательно, они регистрируются первыми в записи сейсмограммы, так же её называют волной сжатия, так как она представляет собой череду сжатий и разряжений (см. рис 1.).

Рисунок 1.Движение в продольной волне

Основные свойства

Это продольная волна, вектор её распространения параллелен вектору поляризации. На рисунке 2,можно наблюдать поляризацию волны Р и вектор её распространения.

Рисунок 2.Поляризация Р-волны и направление волнового вектора

Уравнение на смещение для плоской гармонической волны Р: $u_p=A\begin{pmatrix} \sin(i) \\ 0 \\ -\cos(i)\end{pmatrix} exp(i\omega(\frac{\sin(i)}{v_p}x-\frac{\cos(i)}{v_p}z-t))$

Скорость волн P в однородной изотропной среде выражается:

$v_p= \sqrt{ \frac {K+\frac{4}{3}\mu} {\rho}}= \sqrt{ \frac{\lambda+2\mu}{\rho}}$

где K это объёмный модуль (модуль несжимаемости), $\mu$ это модуль сдвига (модуль жесткости, иногда обозначается как G и также называется параметром Ламе), $\rho$ это плотность среды, через которую проходит волна, и $\lambda$ это первый параметр Ламе. Из них видно, что скорость зависит от изменения K и μ.

Упругий модуль волны P, $M$, определяется как $M = K + 4\mu/3$ и тем самым

$v_p = \sqrt{M/\rho}.\$

Типичные значения для скоростей Р-волн во время землетрясений находятся в диапазоне от 5 до 8 км / с точное значение скорости варьируется в зависимости от региона недр Земли, от 6 км / с в земной коре до 13 км / с через ядро. Скорость продольной волны всегда выше скорости поперечной волны, что видно на сейсмограммах (см.рис 3.)

Рисунок 3. Сейсмограмма землетрясения

Преломление Р-волны на границе двух упругих сред

Для анализа волнового поля в реальных средах необходимо учитывать наличие границ между средами с разными упругими постоянными и свободную поверхность. Пусть Р-волна падает из среды 1 в среду 2, что видно на рисунке 4, векторами на рисунке обозначено направление смещения, соответствующих волн.

Рисунок:4.Падение волны Р на границу двух полупространств

На границе S двух однородных сред из условия отсутствия деформации получаем два непрерывных граничных условия

$\mathbf u(\mathbf r)|_{S_-}= \mathbf u(\mathbf r)|_{S_+},$

$\hat\sigma{\mathbf n}|_{S_-}= \hat\sigma{\mathbf n}|_{S_+},$

где n вектор нормали к границе S. Первое выражение соответствует непрерывности вектора смещения, а второе отвечает за равенство давлений с обеих сторон $S_+$ и $S_-$ на границе.

Если Р-волна преломляется на границе, то возникает четыре волны: отраженная и проходящая волна P и отраженная и прошедшая волна SV.

Преломление Р-волны на границе среда-вакуум

В случае, когда упругая среда граничит с вакуумом, вместо двух условий остается только одно граничное условие, выражающее тот факт, что давление на границу со стороны вакуума должно равняться нулю:

$\mathbf u(\mathbf r)|_{S}= 0.$

Тогда в случае Р-волны, где А — это амплитуда падающей волны, $c_s$ — скорость поперечной волны в среде, $c_p$ — скорость продольной волны в среде, i — угол отражения моды P от моды P, j — угол отражения моды S от моды P, получаем $k_{p s} = A \frac{2 c_p/c_s \sin 2j \cos 2i}{((c_p)/c_s)^2 \cos^2 2j +\sin 2j \sin 2i},$

$k_{pp}=-A \frac{((c_p)/c_s)^2 \cos^2(2j)- \sin(2 j) \sin(2 i)}{((c_p)/c_s)^2 \cos^2(2j)+ \sin(2 j) \sin(2 i)}.$

$k_{p s}$ — это коэффициент отражения моды S от моды P, $k_{pp}$ — это коэффициент отражения моды P от моды P.

См. также

• S-волна
• Сейсмические волны

Литература

• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. — Москва: Наука, т. 7, 1965
• Яновская Т.Б. Основы сейсмологии.-ВВМ, 2006
• Аки К.,Ричардс П. Количественная сейсмология: теория и методы.-М.:Мир,1983
• Сейсморазведка. Справочник геофизика./Под ред. И.И. Гурвича, В.П. Номоконова.- Москва:Недра,1981