Изгибные волны

Изги́бные во́лны — упругие волны, представляющие собой распространяющиеся в стержнях и пластинках деформации изгиба. Строго говоря, изгибными называют только волны, длина волны которых много больше толщины стержня или пластинки. В случае, если длина изгибной волны сравнима с толщиной стержня или пластинки, характер её распространения становится значительно более сложным и такую волну уже не называют изгибной.

В стержне изгибные волны могут распространяться только вдоль его направления. В пластинках направление изгибных волн может быть произвольным в плоскости пластинки. При распространении изгибных волн отклонение частиц происходит в направлении, перпендикулярном направлению распространению, таким образом изгибные волны являются поперечными.

Математическое описание

Линейная изгибная волна описывается дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка вида

$\rho\frac{\partial^2u}{\partial t^2} + ER^2\frac{\partial^2u}{\partial z^2} = 0$

в случае стержня и

$\rho\frac{\partial^2u}{\partial t^2} + \frac{Eh^2}{12(1-\sigma^2)}\Delta^2 u = 0$

в случае пластинки. Здесь использованы следующие обозначения: $t$ — время, $z$ — координата вдоль оси стержня, $\Delta$ — двумерный оператор Лапласа по координатам плоскости пластинки, $u$ — смещение элементов стержня или пластинки, $\rho$ — плотность материала, $E$ — модуль Юнга, $\sigma$ — коэффициент Пуассона, $R$ — радиус инерции поперечного сечения стержня относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба и проходящей через нейтральную поверхность, $h$ — толщина пластинки.

Из уравнений можно получить выражения для фазовых скоростей изгибных волн частоты $\omega$. Для стержня она равна

$v_p = \left(\frac{ER^2}{\rho}\right)^{\frac{1}{4}}\omega^{\frac{1}{2}}$

а для пластинки:

$v_p = \left(\frac{Eh^2}{12\rho(1-\sigma^2)}\right)^{\frac{1}{4}}\omega^{\frac{1}{2}}$

Можно показать, что эти скорости значительно меньше фазовой скорости продольных волн. Также видно, что изгибные волны подвержены дисперсии: при увеличении частоты их фазовая скорость уменьшается. Групповая скорость изгибных волн связана с фазовой простым соотношением:

$v_g = 2v_p~$

Примеры

Примерами изгибных волн могут служить стоячие волны, возбуждаемые при ударе камертона, в деках музыкальных инструментов и в диффузорах громкоговорителей. Вибрации тонких стенок корпусов самолётов, автомобилей, перекрытий и стен здания и т. п. также являются примером изгибных волн.

Литература

• И. А. Викторов Изгибные волны // Физическая энциклопедия / Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов, Б. К. Вайнштейн, С. В. Вонсовский, А. В. Гапонов-Грехов, С. С. Герштейн, И. И. Гуревич, А. А. Гусев, М. А. Ельяшевич, М. Е. Жаботинский, Д. Н. Зубарев, Б. Б. Кадомцев, И. С. Шапиро, Д. В. Ширков; под общ. ред. А. М. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 101. — 704 с.