- Числа Бернулли
-
Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел , впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:
- , где — биномиальный коэффициент, то есть .
Содержание
Рекуррентная формула
Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:
Свойства
- Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме , равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
- Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли при :
- Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например:
- Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:
- ,
- ,
- .
- Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:
- Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при четных s = 2k:
-
- Отсюда следует:
- для всех n.
Литература
- Абрамович В. Числа Бернулли // Квант. — 1974. — № 6. — С. 10-14.
Ссылки
Категория:- Ряды и последовательности
Wikimedia Foundation. 2010.