Регулярные тепловые режимы

Для того чтобы ввести понятие регулярного теплового режима, рассмотрим процесс охлаждения (нагрева) в среде с постоянной температурой произвольного по форме однородного и изотропного тела, начальное распределение температур в котором в начальный момент времени τ = 0 задано известной функцией координат f(x, y, z,0)=T₀. В целях упрощения записи будем, не уменьшая общности, считать температуру окружающей среды T_f = const. Уравнение теплопроводности в безразмерных переменных записывается как:

${\partial\Theta\over\partial Fo}=\nabla^2\Theta$ ^[1], где

• $\mathit{\Theta} = \frac{T-T_f}{T_0-T_f}$ — безразмерная температура
• T = текущая температура тела
• T_f = температура среды
• T₀ = начальная температура тела
• Fo = Число Фурье

Решением данного уравнения при изложенных выше условиях является ряд вида:

$\sum_{n=1}^\infty A_n \phi_n exp(-m_nFo)$,

где $\phi_n=\phi_n(\overline{x},\overline{y},\overline{z}, Bi)$ (где Bi — число Био), а $A_n$ зависит от начальных условий. Рассматривая поведение данного ряда с течением времени (то есть с ростом Fo), приходим к выводу, что члены $m_1,m_2...m_n$ убывают во времени, причем с неодинаковой скоростью. Члены высших порядков убывают быстрее и через некоторое время становятся пренебрежимо малы. Поэтому температура в любой точке тела задолго до достижения им температуры окружающей среды будет определяться, по существу, первым членом ряда, то есть следовать простому экспоненциальному закону:

$\Theta = A_1 \phi exp(-m_1Fo)$.

Момент, когда изменение температуры всех точек тела можно считать следующим этому простому закону, называют началом регулярного, то есть упорядоченного режима. В зависимости от характера изменения температуры окружающей среды T_f во времени различают регулярные режимы трёх родов. ^[2]

Регулярный режим первого рода

Рассмотренное выше условие T_f=const определяет регулярный режим первого рода. Признак регуляризации режима 1-го рода состоит в том, что изменение температуры в каждой точке системы происходит по экспоненте, одинаковой для всех точек:

$T-T_f=C_1\nu exp(-m\tau)$, $C_1=const$, $\nu=\nu(x,y,z)$,

где m — темп нагрева, который для малых чисел Био (Bi<<1) определяется как:

$m=-{\partial ln(T-T_f)\over\partial \tau}=-\frac{\alpha F}{\rho cV}$, где

• F — площадь поверхности тела
• α — коэффициент теплоотдачи
• ρ — плотность тела
• c — теплоёмкость тела.

Для произвольных Bi вводится коэффициент неравномерности температурного поля ψ, который можно определить как отношение средней по поверхности безразмерной температуры к средней безразмерной температуре по объёму. В предельном случае, когда число Био стремится к бесконечности, ψ=0 Тогда выражение для темпа нагрева принимает вид:

$m=-{\partial ln(T-T_f)\over\partial \tau}=-\psi\frac{\alpha F}{\rho cV}$.^[2]

Регулярный режим второго рода

Наступает, когда скорость изменения температуры становится, во-первых, постоянной, общей для всех точек тела, и, во-вторых, равной скорости изменения температуры внешней среды:

${\partial T\over\partial \tau}={\partial T_f\over\partial \tau}=b$^[2]

Регулярный режим третьего рода

Регулярный режим третьего рода реализуется в случае гармонических колебаний температуры среды около некоторой средней температуры.

$T_f=T_{f0}+Acos(\omega\tau)$

Xарактерно, что температура любой точки тела колеблется около своего среднего значения с тем же периодом, что и температура окружающей среды, то есть с периодом, одинаковым для всех точек тела:

$T=Psin(\omega\tau)+Qcos(\omega\tau)=T_0+Bcos(\omega\tau-\phi)$

где φ, T₀, P, Q, B — функции координат. (Очевидно, эти колебания происходят с иной амплитудой, а также могут быть смещены по фазе по сравнению с колебаниями температуры окружающей среды.)^[2]

См. также

• Теплопередача
• Конвекция

Ссылки

1. ↑ Тепловодность при нестационарном режиме, часть 1
2. ↑ ^{1 2 3 4} Тепловодность при нестационарном режиме, часть 3