- G2 (математика)
-
Группа (математика) Теория групп Основные понятия Подгруппа
Нормальная подгруппа
Факторгруппа
(полу-)Прямое произведениеТопологические группы Группа Ли
Ортогональная группа O(n)
Специальная унитарная группа SU(n)
G2 F4 E6 Группа Лоренца
Группа ПуанкареСм. также: Портал:Физика В математике G2 — название нескольких групп Ли и связанной с ними алгебры Ли . Это наименьшая из пяти особых простых групп Ли. G2 имеет ранг 2 и размерность 14. Все её нетривиальные конечномерные линейные представления являются точными. Простейшее представление 7-мерно и является фундаментальным представлением, отвечающим короткому корню системы корней G2.
Компактная форма G2 является группой автоморфизмов алгебры октанионов (октав). Её можно также рассматривать как подгруппу группы SO(7), оставляющую на месте фиксированный 8-мерный спинор (в её спинорном представлении).
Содержание
Реализации
Существуют 3 простые вещественные алгебры Ли, ассоционированные с данной системой корней:
- Лежащая в основе комплексной алгебры Ли G2 сугубо действительная алгебра Ли 28-мерна и односвязна. Комплексное сопряжение является её внешним автоморфизмом. Максимальная компактная подгруппа ассоциированной с этой алгеброй группы и есть компактная форма G2.
- Алгебра Ли в компактной форме имеет размерность 14. Ассоциированная группа Ли не имеет внешних автоморфизмов, центра и является односвязной и компактной.
- Алгебра Ли в некомпактной (разделённой) форме содержит 14 измерений. Ассоциированная простая группа Ли имеет фундаментальную группу 2 порядка, а её группа внешних автоморфизмов — тривиальная группа. Её максимальная компактная подгруппа — SU(2)×SU(2)/(−1×−1). Для данной группы существует неалгебраическая двойная универсальная накрывающая группа (односвязная).
Алгебраические свойства
Схема Дынкина
Система корней G2
Несмотря на то, что корневые векторы можно разместить в 2-мерном пространстве, более симметричным выглядит их выражение тремя координатами, сумма которых равна нулю:
- (1,−1,0), (−1,1,0)
- (1,0,−1), (−1,0,1),
- (0,1,−1), (0,−1,1),
- (2,−1,−1), (−2,1,1),
- (1,−2,1), (−1,2,−1),
- (1,1,−2), (−1,−1,2),
и простые положительные корневые вектора
- (0,1,−1), (1,−2,1).
Группа Вейля/Кокстера
Для алгебры G2 это — группа диэдра D12 12 порядка.
Матрица Картана
Специальные голономии
G2 — одна из тех специальных групп, которые могут быть группами голономии римановой метрики. Многообразия, обладающие G2-голономией, называются править] Ссылки
- en:John Baez, The Octonions, Section 4.1: G2, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145—205. Онлайн HTML версия.
Исключительные простые группы Ли G2 | F4 | E6 | Категория:- Группы Ли
Wikimedia Foundation. 2010.