- Замечательный предел
-
Содержание
Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.
Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
- (1)
(где SsectOKA — площадь сектора OKA)
(из : | LA | = tgx)
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на sinx:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
Доказательство следствийВторой замечательный предел
Доказательство второго замечательного предела:
Доказательство второго замечательного предела для случая последовательности (т.е. для натуральных значений x)Докажем вначале теорему для случая последовательности
По формуле бинома Ньютона:
Полагая , получим:
- (1)
Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывет, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом
- (2).
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство
Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
- .
Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
- .
Поэтому (3).
Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): .
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, т.е. докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n = [x] - это целая часть x.
- Отсюда следует: , поэтому
- .
- Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
- .
- По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда
- .
Из двух этих случаев вытекает, что для любого x.
Следствия
Доказательство следствия
Следствия из второго замечательного предела:
Замечательный логарифмический предел
Доказательство предела
Замечательный показательный предел
Следствия
- для ,
Доказательство предела
Доказательство следствия
Замечательный степенной предел
Доказательство предела
Юмор
- Предел замечательным не бывает.
- Хороший предел — мёртвый предел.
См. также
- (1)
Wikimedia Foundation. 2010.