- Соотношение Бретшнайдера
-
Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, аналог теоремы косинусов:
Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:
ДоказательствоВне четырехугольника построим внешним образом подобный и подобный , чтобы
- ,
- ,
- ,
- .
Из свойства подобных треугольников имеем: AF/a=c/e; BF/a=d/e; AE/d=b/e; DE/d=a/e. Отсюда AF=ac/e; AE=bd/e; BF=DE=ad/e. Сумма углов B и D в четырехугольнике FDBE равна сумме углов , то есть равна 180°. Отсюда FB
Следствия
- Для вписанного 4-угольника соотношение вырождается в теорему Птолемея.
- Если 4-угольник вырождается в треугольник (одна вершина попадает на сторону), то получается теорема Стюарта.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).
- Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей.
- Викифицировать статью.
Источник
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 85-86. — ISBN 5-94057-170-0
Категории:- Планиметрия
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.