- Векторный анализ
-
Ве́кторный ана́лиз — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы в двух или более измерениях.
Содержание
Сфера применения
Объектами приложения векторного анализа являются:
- Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое.
- Скалярные поля — функции на векторном пространстве.
Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными:
- Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись.
- Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат.
- Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и наглядное физическое истолкование.
Векторные операторы
Наиболее часто применяемые векторные операторы:
- Ротор и дивергенция — для векторных полей.
- Градиент, лапласиан — для скалярных полей.
Оператор Обозначение Описание Тип Ротор Характеризует вихревую составляющую векторного поля. Вектор вектор Дивергенция Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля. Вектор скаляр Градиент Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля. Скаляр вектор Лапласиан Сочетание дивергенции с градиентом. Скаляр скаляр Основные соотношения
Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.
Теорема Запись Пояснения Теорема о градиенте Криволинейный интеграл от градиента скалярного поля равен разности значений поля в граничных точках кривой. Теорема Грина Криволинейный интеграл по замкнутому плоскому контуру может быть преобразован в двойной интеграл по области, ограниченной контуром. Теорема Стокса Поверхностный интеграл от ротора векторного поля равен циркуляции по границе этой поверхности. Теорема Остроградского — Гаусса Объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через граничную поверхность. Исторический очерк
Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием в 1843 г. кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). В двух монографиях (1853, 1866 посмертно) Гамильтон ввёл понятие вектора и вектор-функции, описал дифференциальный оператор («набла», 1846) и многие другие понятия векторного анализа. Он определил в качестве операций над новыми объектами скалярное и векторное произведения, которые для кватернионов получались чисто алгебраически (при обычном их умножении). Гамильтон ввёл также понятия коллинеарности и компланарности векторов, ориентации векторной тройки и др.
Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла (1873), заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид. Примечательно, что уже в работах Максвелла кватернионная терминология почти отсутствует, фактически заменённая на чисто векторную. Термин «векторный анализ» предложил Гиббс (1879) в своём курсе лекций.
См. также
- Вектор-функция
- Векторное исчисление
- Градиент
- Дивергенция
- Дифференциальная геометрия
- Оператор набла
- Поверхность
- Ротор
- Формулы векторного анализа
- Векторное исчисление
Литература
- Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
- Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
- Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
- Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
- Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.
Ссылки
Категория:- Векторный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.