Дискретное преобразование Абеля

У этого термина существуют и другие значения, см. Преобразование Абеля.

В математическом анализе дискретным преобразованием А́беля называют представление произведения частичных сумм рядов в следующем виде:

$\sum\limits_{k=n}^m a_k b_k = \sum\limits_{k=n}^{m-1} A_k (b_k - b_{k+1}) + A_m b_m$,

где $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k, \sum\limits_{k=1}^\infty b_k$ — ряды, а $A_k$ — частичная сумма (по элементам от 1 до k включительно) или отрезок (сумма по номерам от n до k, где n < k) ряда $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$.

Преобразование было названо в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля и используется при доказательстве признака сходимости Дирихле.

Преобразование Абеля является дискретным аналогом интегрирования по частям и иногда называется суммированием по частям.

Доказательство

Есть две последовательности $(a_n) \,$ и $(b_n) \,$, при $n \in \N$. Рассмотрим следующий ряд :
$S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n$

Положим $B_n = \sum_{k=0}^n b_k$ ,
тогда для всех n>0, $b_n = B_n - B_{n-1} \,$

$S_N = a_0 b_0 + \sum_{n=1}^N a_n (B_n - B_{n-1})$
$S_N = a_0 b_0 - a_1 B_0 + a_N B_N + \sum_{n=1}^{N-1} B_n (a_n - a_{n+1})$
В итоге получаем следующее равенство : $S_N = a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n)$