Компактификация

В общей топологии компактификация — операция, которая преобразует произвольные топологические пространства в компактные.

Формально компактификация пространства $X$ определяется как пара $(Y,\;f)$, где $Y$ компактно, $f:X \to Y$ гомеоморфизм на свой образ $f(X)$ и $f(X)$ плотно в $Y$.

На компактификациях некоторого фиксированного пространства $X$ можно ввести частичный порядок. Положим $f_1 \leqslant f_2$ для двух компактификаций $f_1: X \to Y_1$, $f_2: X \to Y_2$, если существует непрерывное отображение $g: Y_2 \to Y_1$ такое, что $g f_2 = f_1$. Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна — Чеха^[1] и обозначается $\beta X$. Для того, чтобы у пространства $X$ существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, необходимо и достаточно, чтобы $X$ удовлетворяло аксиоме отделимости $T_{3\frac{1}{2}}$, т.е. было вполне регулярным.

Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть $Y=X \cup \{\infty\}$ и открытыми множествами в $Y$ считаются все открытые множества $X$, а также множества вида $O \cup \{\infty\}$, где $O \subseteq X$ имеет компактное (в $X$) дополнение. $f$ берётся как естественное вложение $X$ в $Y$. $(Y,\; f)$ тогда компактификация, причём $Y$ хаусдорфово тогда и только тогда, когда $X$ хаусдорфово и локально компактно.

Примеры одноточечной компактификации

$\R \cup \{\infty\}$ с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Не трудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны. В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с $\R$ (пример гомеоморфизма — стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с $\R \cup \{\infty\}$. Аналогично, $\mathbb R^n \cup \{\infty\}$ гомеоморфно c $n$-мерной гиперсферой.

Примечания

1. ↑ Также «стоунчеховская компактификация» и «чехстоунова компактификация».