Метод неделимых

Метод неделимых — возникшее в конце XVI в. наименование совокупности довольно разнородных приёмов вычисления площадей или объёмов фигур. Формализация этих приёмов во многом определила развитие интегрального исчисления.

Идея

Теоретическое обоснование нового метода нахождения площадей и объёмов предложил в 1635 году Кавальери. Он выдвинул следующий тезис:

Фигуры относятся друг к другу, как все их линии, взятые по любой регуле [базе параллельных], а тела — как все их плоскости, взятые по любой регуле.

Отсюда следует, что для нахождения отношения между двумя плоскими или телесными фигурами достаточно найти отношения между всеми неделимыми обеих фигур по какой-либо регуле.

Впоследствии многие учебники геометрии включили в изложение «принцип Кавальери», который он сам формулировал так:

Иллюстрация принципа Кавальери

Объёмы (или площади) двух фигур равны, если равны между собой площади (или длины) всех соответственных их сечений, проведенных параллельно некоторой данной плоскости (или прямой).

Парадокс Кавальери

Математики сразу указали на возможность ошибочного применения метода неделимых; один из таких примеров привёл сам Кавальери в письме к Торричелли (см. рисунок). Треугольники ABD и BCD состоят из вертикальных неделимых, причём каждой неделимой левого треугольника (EF) можно взаимно-однозначно сопоставить неделимую той же длины (GH) правого треугольника. Отсюда, согласно принципу Кавальери, следует ошибочный вывод, что площади треугольников равны^[1]. Тем не менее ясного правила для избежания ошибок Кавальери не дал.

Примеры

Рис. 1. Вычисление площади круга.

Рис. 2. То же в анимации

Пример 1. Вычислим площадь круга. Формула для длины окружности: $~L=2\pi R$ считается известной.

Разобьём круг (слева на рис. 1) на бесконечно малые кольца. Рассмотрим также треугольник (справа на рис. 1) с длиной основания L и высотой R, который тоже разобъём сечениями параллельно основанию. Каждому кольцу радиуса R и длины $~L=2\pi R$ можно сопоставить одно из сечений треугольника той же длины. Тогда, по принципу Кавальери, их площади равны. А площадь треугольника найти несложно:

$2\pi R\cdot R/2 = \pi R^2$.

Рис. 3. Вычисление объёма полушария.

Пример 2. Вычислим объём полушария радиуса r. Формулы для площади круга (пример 1), а также для объёма конуса и цилиндра считаются известными.

Проведём сечения полушария плоскостями, параллельными его основанию. Полушарие разобьётся на бесконечно малые круги (рис.3, слева). На высоте h площадь сечения будет равна $~\pi (r')^2$, или (по теореме Пифагора) $~\pi (r^2 - h^2)$.

Далее рассмотрим круговой цилиндр высоты r, с радиусом основания тоже r, из которого вырезан конус острием вниз (справа на рис. 3). Рассечём и это тело параллельно основанию. В сечении на высоте h получится кольцо площадью $~\pi r^2 - \pi h^2$. Замечаем, что эта площадь такая же, как и для полушария.

Следовательно, по принципу Кавальери, объёмы обоих тел равны. Объём тела справа равен

$\pi\cdot r^2\cdot r-\frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot r=\frac23\pi\cdot r^3.$

Вывод: объём полного шара равен $\frac43\pi r^3.$

История

Уже Архимед в своих исследованиях рассекал пространственное тело параллельными плоскостями и представлял это тело как своего рода альбом, объединение таких сечений (инфинитезимальное разложение, то есть разложение на бесконечно малые элементы). Здесь возможно влияние атомистов с их «неделимыми». Однако Архимед считал обязательным передоказывать результаты, полученные с помощью метода неделимых, строгим методом исчерпывания. Европейские математики, начиная с XVI века, тоже применяли метод исчерпывания для проведения квадратур (вычисления площадей) и определения центров тяжести.

В XVII веке сразу несколько математиков реализуют идею инфинитезимального разложения плоской фигуры или трёхмерного тела. Среди них Непер, Кеплер, Декарт, Ферма, Кавальери и др. Строго обосновать новый метод они не могли, ссылаясь на то, что результаты получаются правильные, и при желании эти результаты можно доказать громоздким классическим методом. В большинстве случаев это было верно, однако не всегда — например, при вычислении площади неограниченной фигуры метод исчерпывания был неприменим, а новый метод нередко давал верный результат. Классический подход не работал также при суммировании многих рядов и в других случаях работы с бесконечностью.

В труде «Новая астрономия» Кеплер часто использует понятие «неделимых», в том числе при формулировке своих трёх законов движения планет; например, вместо площади он упоминал «сумму радиус-векторов». В «Новой стереометрии винных бочек» он находит объём множества тел, полученных вращением конических сечений; для вычисления объёма Кеплер разлагает тело в набор сечений и затем собирает этот набор в ином теле, объём которого известен. Большинство его результатов были правильны, хотя несколько ошибок Кеплер всё же допустил^[2].

Галилей был знаком с методом неделимых, однако отчётливо видел его слабые и опасные стороны. В переписке и последних трудах он размышляет о сущности бесконечности, показывает, что бесконечное множество может быть равносчётно своей части, имеющей меньшую меру, так что рассуждения о неделимых плохо обоснованы. Тем не менее он сам фактически использовал неделимые при исследовании равноускоренного движения^[2].

Наиболее ярким и влиятельным представителем «геометрии неделимых» был Кавальери. В его изложении инфинитезимальные представления Кеплера обрели вид общих вычислительных приёмов.

Мощь и относительная простота нового метода произвели чрезвычайно сильное впечатление на математиков. Целые поколения, от Валлиса до Лейбница, учились у Кавальери. Торричелли назвал метод неделимых «царской дорогой» в геометрии.

Валлис, ознакомившись с методом Кавальери по книге Торричелли, решил провести его алгебраизацию. Вместо геометрического преобразования сечений он строит в «Арифметике бесконечных» (1656) числовые ряды, которые мы сейчас называем интегральными суммами, и находит эти суммы.

Независимо от Валлиса и лет на 30 раньше эти интегралы вычислили Ферма и Роберваль. В посмертно опубликованном сочинении Ферма виртуозно применяет такие приёмы, как интегрирование по частям и замена переменных, что позволило ему вычислить множество сложных интегралов от дробно-рациональных функций и от многочленов с дробными степенями.

Мемуар Ферма получил широкую известность, так как он почти полностью покрывает результаты Кавальери, но при этом изложенные методы существенно компактнее и понятнее. Кроме того, интегральные суммы оказались применимы к задачам, недоступным для метода Кавальери — например, спрямление (измерение дуги) кривой. Роберваль исследовал спираль Архимеда, Ферма и Торричелли в 1640-е годы — параболы и спирали высших порядков. Кристофер Рен спрямил циклоиду (1658).

Учитывая уязвимость для критики тех открытий, которые получены с помощью метода неделимых, многие математики (Ферма, Паскаль, Барроу и др.) отмечали в своих работах, что все их результаты могут быть без труда передоказаны строгими методами древних. Барроу, правда, сделал к этой оговорке ироничное добавление: «только зачем?».^[3]

Декарт использовал инфинитезимальные методы в своей «Оптике», но в целом старался не углубляться в эту область. В трактате «Геометрия» он высказал мнение, что спрямление алгебраических линий невозможно. Это утверждение было опровергнуто лишь через двадцать лет: в 1650-х гг. сразу четыре математика, включая Ферма и Гюйгенса, дали спрямление полукубической параболы. Впрочем, и сам Декарт успешно спрямил, правда, не алгебраическую, а трансцендентную кривую — логарифмическую спираль, длина дуги которой, считая от полюса, пропорциональна радиус-вектору конца дуги — свойство, которое знал и Торричелли.

Идея Валлиса — алгебраизация метода бесконечно малых — достигла высшего развития после открытия математического анализа Ньютоном и Лейбницем. В своих «Началах» Ньютон дал первый набросок общей теории пределов (11 лемм), при этом он не постулирует аналог принципа Кавальери, а строго его доказывает (следствие из леммы IV):

Если вообще две какого угодно рода величины будут разделены на одинаковое число частей и, при бесконечном возрастании числа их и уменьшении каждой из них, отношение их соответственно друг к другу, то есть первой к первой, второй ко второй и т. д., остаётся постоянным, то и самые величины будут находиться в этом же отношении.

Здесь неделимые заменены на переменные, величина которых стремится к нулю; при этом «парадокса Кавальери» уже не может возникнуть, поскольку отношение сравниваемых в парадоксе величин (ширины малых четырёхугольников в разбиении) не равно единице.

После создания анализа метод неделимых представлял уже только исторический интерес. Однако ещё более века, до работ Коши, обоснование анализа бесконечно малых было столь же неубедительным, как и у метода неделимых.

Примечания

1. ↑ Хрестоматия по истории математики, 1977, с. 51.
2. ↑ ^{1 2} Хрестоматия по истории математики, 1977, с. 44-56.
3. ↑ Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963. — С. 177.

Литература

• История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
• Лурье С. Я. Теория бесконечно-малых у древних атомистов. — М.-Л.: Изд. АН СССР, 1935.
• Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977. — 224 с.