Обращение Мебиуса

Функция Мёбиуса μ(n) — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 г.

Определение

μ(n) определена для всех натуральных чисел n и принимает значения ${-1,\;0,\;1}$ в зависимости от характера разложения числа n на простые сомножители:

• μ(n) = 1 если n свободно от квадратов (т.е. не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение n на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
• μ(n) = − 1 если n свободно от квадратов и разложение n на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
• μ(n) = 0 если n не свободно от квадратов.

По определению также полагают μ(1) = 1.

Свойства и приложения

Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел a и b выполняется равенство μ(ab) = μ(a)μ(b).

Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n, не равного единице, равна нулю

$\sum_{d | n} \mu(d) = \left\{\begin{matrix}1,&n=1\\ 0,&n>1\end{matrix}\right.$

Отсюда, в частности, следует, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств состоящих из нечётного числа элементов равно количеству различных подмножеств состоящих из чётного числа элементов — факт, применяемый в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса отношением

$M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k).$

Функция Мертенса в свою очередь тесно связана с задачей о нулях дзета-функции Римана, см. статью гипотеза Мертенса.

Обращение Мёбиуса

Первая формула обращения Мёбиуса

Для арифметических функций f и g,

g(n) =	∑	f(d)
	d | n

тогда и только тогда, когда

$f(n)=\sum_{d\,\mid\, n}\mu(d)g(n/d)$.

Вторая формула обращения Мёбиуса

Для вещественнозначных функций f(x) и g(x), определеных при $x\geqslant 1$,

$g(x) = \sum_{n\leqslant x} f\left(\frac{x}{n}\right)$

тогда и только тогда, когда

$f(x) = \sum_{n\leqslant x}\mu(n) g\left(\frac{x}{n}\right)$.

Здесь сумма $\sum_{n\leqslant x}$ интерпретируется как $\sum_{n=1}^{\lfloor x\rfloor}$.