Частичный предел последовательности

Верхний предел (lim sup) и нижний предел (lim inf) последовательности.

Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.

Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы.

Определение

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно $~+\infty$ или $~-\infty$.

Нижний предел последовательности — это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.

Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую.^[1] Очевидно, что эти определения эквивалентны.

Обозначения

Нижний предел последовательности $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$:

• $\varliminf_{n \to \infty} x_n$ (в отечественной литературе);

• $\liminf_{n \to \infty} x_n$ (в иностранной литературе).

Верхний предел последовательности $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$:

• $\varlimsup_{n \to \infty} x_n$ (в отечественной литературе);

• $\limsup_{n \to \infty} x_n$ (в иностранной литературе).

Примеры

• $\varliminf_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \varlimsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

• $\varliminf_{n \to \infty} \left( -1 \right)^n = -1$

• $\varlimsup_{n \to \infty} \left( -1 \right)^n = +1$

• $\nexists \varliminf_{n \to \infty} n, \nexists \varlimsup_{n \to \infty} n$ (в другой терминологии оба предела равны $~+\infty$)

Свойства

• Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка, и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентны.
• У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел). Если же считать $~-\infty$ и $~+\infty$ допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы существуют вообще у любой числовой последовательности.
• Числовая последовательность $~\{x_n\}$ сходится к $~a$ тогда и только тогда, когда $\varliminf_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}=a$.
• Для любого наперёд взятого положительного числа $~\varepsilon$ все элементы ограниченной числовой последовательности $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$, начиная с некоторого номера, зависящего от $~\varepsilon$, лежат внутри интервала $\left(\varliminf_{n \to \infty} x_n - \varepsilon, \varlimsup_{n \to \infty} x_n + \varepsilon \right)$.
• Если за пределами интервала $\left( a, b \right)$ лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$, то интервал $\left(\varliminf_{n \to \infty} x_n, \varlimsup_{n \to \infty} x_n \right)$ содержится в интервале $\left( a, b \right)$.

Примечания

1. ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 92 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7