Смешанная частная производная

Определение

Пусть функция $z=f(x,\;y)$, и ее частные производные

$\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}$

определены в некоторой окрестности точки $(x_0,\;y_0)$. Тогда предел

$\lim_{\Delta y \to 0 }{\frac{\displaystyle{\frac{\partial f ( x_0, y_0 + \Delta y)}{\partial x} - \frac{\partial f(x_0,\;y_0)}{\partial x} }}{\Delta y}},$

если он существует, называется смешанной (смежной) производной функции $f(x,\;y)$ в точке $(x_0,\;y_0)$ и обозначается $\frac{\partial^2 f (x_0,\;y_0)}{\partial x \partial y}$.

Аналогично определяется $\frac{\partial^2 f (x_0,\;y_0)}{\partial y \partial x}$ как

$\lim_{\Delta x \to 0 }{\frac{\displaystyle{\frac{\partial f ( x_0 + \Delta x,\;y_0)}{\partial y} - \frac{\partial f ( x_0,\;y_0)}{\partial y}}}{\Delta x}},$

если он существует.

Смешанные частные производные порядка большего двух определяются индуктивно.

Обозначение

• $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f''_{xy} = z''_{xy}$
• $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = f''_{yx} = z''_{yx}$

Свойства

• Для непрерывной функции имеет место равенство $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$. При условии их непрерывности в рассматриваемой точке.

Пример Шварца

$f(x,\;y)= \begin{cases}\displaystyle{xy \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}},\quad x^2+y^2>0 \\ 0,\quad x=y=0 \end{cases} \Rightarrow \frac{\partial^2 f (0,\;0)}{\partial x \partial y} = -1 \ne 1 = \frac{\partial^2 f (0,\;0)}{\partial y \partial x}$

То есть смешанные производные в примере Шварца не равны.

• Имеет место теорема о равенстве смешанных производных

Теорема Шварца

Основная статья: Равенство смешанных производных

Пусть выполнены условия:

1. функции $z=f(x,\;y),\;\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y},\;\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ определены в некоторой окрестности точки $(x_0,\;y_0)$.
2. $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y},\;\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ непрерывны в точке $(x_0,\;y_0)$.

Тогда $\frac{\partial^2 f (x_0,\;y_0)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f (x_0,\;y_0)}{\partial y \partial x}$, то есть смешанные производные второго порядка равны в каждой точке, где они непрерывны.

Теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных индуктивно распространяется на смешанные частные производные высших порядков, при условии, что они непрерывны.

• Тем не менее, условие непрерывности смешанных производных отнюдь не является необходимым в теореме Шварца.

Пример

$f(x,\;y)= \begin{cases}\displaystyle{\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}},\quad x^2+y^2>0 \\0,\quad x=y=0 \end{cases} \Rightarrow$ смешанные производные второго порядка равны всюду кроме точки $(0,\;0)$, в которой и нарушается равенство смешанных производных^[1].

Примечания

1. ↑ Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Глава 5. Функции многих переменных // Курс математического анализа. — 2-е изд. — М.: МФТИ, 1997. — С. 283. — 716 с. — ISBN 5-89155-006-7

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.