- Теорема Леви о монотонной сходимости
-
Теорема о монотонной сходимости (теорема Беппо́ Ле́ви) — это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории вероятностей, где служит инструментом для доказательства многих положений. Даёт одно из условий при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега[1], теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.
Содержание
Различные формулировки из функционального анализа
Пусть — фиксированное пространство с мерой.
- Пусть на множестве задана последовательность функций , причем
функции интегрируемы и их интегралы ограничены в совокупности:
Тогда почти всюду существует конечный предел , функция интегрируема на и .
- Пусть ряд состоит из суммируемых неотрицательных функций. Тогда если интегралы от частичных сумм ряда ограничены в совокупности:
- ,
то ряд сходится к почти всюду конечной суммируемой функции и
- .
Формулировка из теории вероятностей
Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов , вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть — монотонная последовательность неотрицательных п.н. интегрируемых случайных величин. Тогда
- .
См. также
Примечания
- ↑ То есть даёт условие, при котором из сходимости функциональной последовательности к суммируемому пределу следует сходимость и равенство интегралов .
Литература
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
- Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.
Категории:- Теория вероятностей
- Математический анализ
Wikimedia Foundation. 2010.