- Производное множество
-
Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.
Содержание
Определение
Пусть дано топологическое пространство , где X — произвольное множество, а — определённая на X топология. Пусть также задано подмножество . Точка называется предельной точкой множества A, если для любого открытого множества , такого что и
- .
Связанные понятия
Совокупность всех предельных точек множества A называется его произво́дным мно́жеством и обозначается A'.
Объединение самого множества A с его производным множеством A' называется замыканием множества и обозначается или [A].
Свойства
- В метрических пространствах, если x — предельная точка A, то существует последовательность целиком лежащая в A такая, что при .
- Топологические пространства для которых выполняется это свойство называются пространства Фреше — Урысона
- Не всякая точка множества A обязана быть предельной. Обратно, предельная точка множества не обязана ему принадлежать.
- Любое бесконечное и ограниченное подмножество евклидова пространства имеет хотя бы одну предельную точку.
Лемма о предельной точке
Пусть — бесконечное ограниченное подмножество числовой прямой. Тогда оно имеет хотя бы одну предельную точку, то есть
Доказательство
Поскольку множество (назовём его X) ограничено, то существует отрезок [a,b], включающий X. Предположим, что ни одна точка этого отрезка не является предельной для X. Тогда окрестностями всех точек этого множества можно покрыть весь отрезок. Значит, по принципу Бореля-Лебега, из множества этих окрестностей (коих бесконечное число, так как во множестве X по условию число элементов бесконечно) можно выделить конечное подпокрытие [a,b] какими-то окрестностями . В каждой из этих окрестностей по условию конечное число элементов, всего окрестностей также конечное число, значит, всего в X конечное число элементов, что противоречит условию. Стало быть, у X действительно есть предельная точка.