- Противоположный элемент
-
Обра́тный элеме́нт — одно из понятий абстрактной алгебры.
Содержание
Определения
- Пусть — множество M с определённой на нём бинарной операцией . Пусть — произвольный элемент множества M. Если справедливо равенство
где , а - нейтральный элемент относительно операции , то y называется обра́тным спра́ва к x. - Аналогичным образом, если выполнено
то y называется обра́тным сле́ва к x. - Элемент , являющийся обратным к x и справа, и слева, то есть такой, что
называется просто обратным к x и обозначается x − 1.
Замечания
- Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация (M, + ), то обратный элемент называется противополо́жным и обозначается - x.
- Вообще говоря, один и тот же элемент может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и последние не обязаны пересекаться.
Свойства
- Пусть операция ассоциативна. Тогда если для элемента определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.
Примеры
Множество Бинарная операция Обратный элемент Вещественные числа + (сложение) - x Вещественные числа не равные нулю (умножение) 1 / x Функции вида (композиция функций) f − 1 (обратная функция) См. также
- Пусть — множество M с определённой на нём бинарной операцией . Пусть — произвольный элемент множества M. Если справедливо равенство
Wikimedia Foundation. 2010.