Теория пределов

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Число $a$ называется пределом последовательности $a_n=\{x_1,x_2,...,x_n\}$ , если $\forall$ $\epsilon > 0$ , $\exists$ $N(\epsilon)$ , $\forall$ $n>N(\epsilon)$: $|a_n-a|<\epsilon$. Предел последовательности обозначается $\lim_{n\to +\infty} a_n$. Куда именно стремится $n$, можно не указывать, поскольку $n$ $\in\mathbb N$, оно может стремиться только к $+\infty$.

Свойства:

• Если предел последовательности существует, то он единственный.
• $\lim c = c$ $,c - const$
• $\lim (x_n + y_n) = \lim x_n + \lim y_n$ (если оба предела существуют)
• $\lim (q x_n) = q \lim x_n$ $,q - const$
• $\lim (x_n y_n) = \lim x_n \lim y_n$ (если оба предела существуют)
• $\lim (x_n / y_n) = \lim x_n / \lim y_n$ (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
• Если $a_n > x_n > b_n \forall n$ и $\lim a_n = \lim b_n$ , то $\lim x_n = \lim a_n = \lim b_n$ (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)

Предел функции

Основная статья: Предел функции

Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если $\forall \epsilon > 0$ существует $\delta > 0$, такое что $\forall x, 0 < |x-a| <\delta$ выполняется $|f(x) - b| < \epsilon$.

Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например, $\lim_{x\to x_0} (f(x)+ g(x))= \lim_{x\to x_0} f(x)+ \lim_{x\to x_0} g(x)$, если все члены существуют.

Обобщенное понятие предела последовательности

Пусть $X$ — некоторое множество, в котором определено понятие окрестности $U$ (например, метрическое пространство). Пусть $x_i \in X$ — последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что $x \in X$ есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки $x$ лежат почти все члены последовательности то есть $\forall U(x) \exist n \forall i>n x_i \in U(x)$