Формула Брэгга-Вульфа

Условие Вульфа-Брэгга определяет направление возникновения дифракции максимумов упруго рассеянного на кристалле рентгеновского излучения. Выведено в 1913 независимо У.Л. Брэггом и Г.В. Вульфом. Имеет вид: $\quad 2d \sin \theta = n \lambda$, где d-межплоскостное расстояние, θ-угол скольжения падающего луча, n-порядок отражения, λ-длина волны.

Вывод

Пусть плоская монохроматическая волна любого типа падает на кристаллическую решётку с периодом d, под углом θ, как показано на рисунке

Падающий (синий) и отражённые (красные) лучи

Как видно есть разница в путях между лучом отражённым вдоль AC' и лучом прошедшим к второй плоскости атомов по пути AB и только после этого отражённым вдоль BC. Разница в путях запишется как

(AB + BC) − (AC').

Если эта разница равна целому числу волн n то две волны придут в точку наблюдения с одинакомыми фазами испытав интерференцию. Математически можно записать:

$(AB+BC) - (AC') = n\lambda \,$

где λ — длина волны излучения. Используя теорему Пифагора можно показать, что

$AB=\frac{d}{\sin\theta}\,$, $BC=\frac{d}{\sin\theta},$, $AC=\frac{2d}{\tan\theta}\,$

как и следующие соотношения:

$AC'=AC\cdot\cos\theta=\frac{2d}{\tan\theta}\cos\theta\,$

Собрав всё вместе получим известное выражение:

$n\lambda=\frac{2d}{\sin\theta}-\frac{2d}{\tan\theta}\cos\theta=\frac{2d}{\sin\theta}(1-\cos^2\theta)=\frac{2d}{\sin\theta}\sin^2\theta$

После упрощения получим закон Брэгга

$n\lambda=2d\cdot\sin\theta (1).$

Применение

Условие Вульфа-Брэгга позволяет определить межплоскостные расстояния d в кристалле, так как λ обычно известна, а углы θ измеряются экспериментально. Условие (1) получено без учёта эффекта преломления для безграничного кристалла, имеющего идеально-периодическое строение. В действительности дифрагированное излучение распространяется в конечном угловом интервале θ±Δθ, причём ширина этого интервала определяется в кинематическом приближении числом отражающих атомных плоскостей (то есть пропорциональна линейным размерам кристалла), аналогично числу штрихов дифракционной решётки. При динамической дифракции величина Δθ зависит также от величины взаимодействия рентгеновского излучения с атомами кристалла. Искажения решётки кристалла в зависимости от их характера ведут к изменению угла θ, или возрастанию Δθ, или к тому и другому одновременно. Условие Вульфа-Брэгга является исходным пунктом исследований в рентгеновском структурном анализе, рентгенографии материалов, рентгеновской топографии. Условие Вульфа-Брэгга остаётся справедливым при дифракции γ-излучения, электронов и нейтронов в кристаллах, при дифракции в слоистых и периодических структурах излучения радио- и оптического диапазонов, а также звука. В нелинейной оптике и квантовой электронике при описании параметрических и неупругих процессов применяются различные условия пространственного синхронизма волн, близкие по смыслу условию Вульфа-Брэгга.

См. также

• Дифракция
• Дифракция Брэгга

Литература

• Bragg W. L., "The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 17, 43 (1914).
• Физическая энциклопедия /Гл. ред. А.М.Прохоров. Ред. кол. Д.М. Алексеев, А.М. Балдин, А.М. Бонч-Бруевич, А.С. Боровик-Романов и др. — М.: Сов. энциклопедия. Т.1. Аронова – Бома эффект – Длинные линии. 1988. 704 с., ил.