- Центральная предельная теорема Ляпунова
-
Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма большого количества независимых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному. Так как многие случайные величины в приложениях являются суммами нескольких случайных факторов, центральные предельные теоремы обосновывают популярность нормального распределения.
Содержание
Классическая формулировка Ц.П.Т.
Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние μ и σ2, соответственно. Пусть . Тогда
- по распределению при ,
где N(0,1) — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом выборочное среднее первых n величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:
- по распределению при .
Замечания
- Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма n независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение, близкое к N(nμ,nσ2). Эквивалентно, имеет распределение близкое к N(μ,σ2 / n).
- Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна, сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив , получаем , где Φ(x) — функция распределения стандартного нормального распределения.
- Центральная предельная теорема в классической формулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности).
- Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей. Тем не менее в данном классическом случае имеет место
Локальная Ц.П.Т.
В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение Zn также абсолютно непрерывно, и более того,
- при ,
где - плотность случайной величины Zn, а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.
Некоторые обобщения
Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.
Ц.П.Т. Линдеберга
Пусть независимые случайные величины определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии: . Как и прежде построим частичные суммы . Тогда в частности, . Наконец, пусть выполняется условие Линдеберга:
Тогда
- по распределению при .
Ц.П.Т. Ляпунова
Пусть выполнены базовые предположения Ц.П.Т. Линдеберга. Пусть случайные величины {Xi} имеют конечный третий момент. Тогда определена последовательность
- . Если предел
- (условие Ляпунова),
то
- по распределению при .
Ц.П.Т. для мартингалов
Пусть процесс является мартингалом. Введём случайные процессы и τn следующим образом:
и
- .
Тогда
- по распределению при .
Wikimedia Foundation. 2010.