- Циссоида Диоклеса
-
Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OY, на отрезке OA = 2a, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке A проводится касательная UV. Из точки O проводится произвольная прямая OF, которая пересекает окружность в точке E и касательную в точке F. От точки F, в направлении точки O, откладывается отрезок FM, длина которого равна длине отрезка OE. При вращении линии OF вокруг точки O, точка M описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны, синим и красным цветами.
Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:
Уравнение циссоиды в полярной системе координат:
Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:
Параметрическое уравнение циссоиды:
где
- .
Содержание
История
Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка P, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке E; ось симметрии — диаметр BD. Из точки P проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка M, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой OE. Этим методом, Диокл построил только кривую DOB внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды (DOB) замкнуть дугой окружности EAD, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — греч. χισσος («киссос»), от этого и произошло название кривой — «Циссоида».
В современном виде, циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик де Слюз (англ.).
Особенности кривой
Циссоида симметрична относительно оси абсцисс. Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках B и D, которые принадлежат диаметру этой окружности. Циссоида имеет один касп и асимптоту UV, уравнение которой: x = 2a, где a — радиус вспомогательной окружности.
Площадь между циссоидой и асимптотой
Площадь, заключённая между ветвями циссоиды KOL и асимптотой UV S1. Уравнение верхней ветви OL:
Половина площади заключённой между циссоидой и асимптотой равна интегралу от уравнения (2) в пределах от 0 до 2a:
Подстановка:
Пределы интегрирования:
Интеграл (3) преобразуется к виду:
Итак:
Площадь S1 равна:
- S1 = 3πa2.
Объём тела вращения
Объём (V1) тела, образованного при вращении ветви OL вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:
Если , то , то есть .
-
Wikimedia Foundation. 2010.