Базис Рисса

Система Рисса с постоянными A и B - такая система векторов $\{f_n\}_{n=1}^\infty \in H$ в гильбертовом пространстве H , что для любой последовательности комплексных чисел $c=\{c_n\}_{n=1}^\infty \in l_2$ ряд $\sum_{n=1}^\infty c_nf_n$ сходится по норме в H, причем $A\|c\|^2_{l_2}\leqslant \left\| \sum_{n=1}^\infty c_n f_n \right\|^2_H \leqslant B\|c\|^2_{l_2}$,

Базис Рисса - такая система Рисса, которая является базисом в H (базисом Шаудера).

Базис Рисса является обобщением понятия ортонормированного базиса, а двойное неравенство, данное в определении — обобщение неравенства Бесселя. Другое название базисов Рисса - базисы, эквивалентные ортонормированным.

Система векторов является базисом Рисса тогда и только тогда, когда она может быть получена из ортонормированного базиса с помощью ограниченного обратимого преобразования.

Свойства базисов Рисса

Любая система Рисса является базисом Рисса в пространстве $V=\left\{ f=\sum_{n=1}^\infty c_n f_n, ~~\sum_{n=1}^\infty|c_n|^2 < \infty \right\}$, при этом для любого элемента $f\in V$ выполняется неравенство $A\|f\|^2 \leqslant \sum_{n=1}^{\infty}|(f, f_n)|^2 \leqslant B \|f\|^2$

Любой базис Рисса является безусловным базисом, то есть остаётся базисом после любой перестановки элементов.

Литература

• Гохберг И.Ц., Крейн М.Г., Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, M.: Наука, 1965. - 448 c.
• Бари Н.К., Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве, Учен. зап. МГУ 148, Математика 4, 69—107.
• Авдонин С.А., К вопросу о базисах Рисса из показательных функций в $L^2$, Исследования по линейным операторам и теории функций. IV, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 39, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1974, 176–177
• Орынбасаров Е.М., Садыбеков М.А., Базисность системы собственных и присоединенных функций краевой задачи со смещением для волнового уравнения, Матем. заметки, 51:5 (1992), 86–89.