- Парадокс спящей красавицы
-
Парадокс спящей красавицы — парадокс теории вероятностей. Парадокс представляет собой вероятностную задачу, которая имеет несколько различных, по-своему правильных ответов, и демонстрирует, как можно манипулировать статистикой.
Автором парадокса считается Адам Элга[1]. В 1999 году задача вызвала флейм в Usenet[2].
Содержание
Формулировка
Испытуемой («Спящей красавице») делается укол снотворного. Бросается симметричная монета. В случае выпадения орла: её будят, и эксперимент на этом заканчивается. В случае выпадения решки: её будят, делают второй укол (после чего она забывает о побудке) и будят на следующий день, не бросая монеты (в таком случае эксперимент идёт два дня подряд). Вся эта процедура Красавице известна, однако у неё нет информации, в какой день её разбудили.
Представьте себя на месте Спящей красавицы. Вас разбудили. Какова вероятность того, что монета упала решкой?
- Решение 1.
- У вас нет никакой информации о результате выпадения монеты и предыдущих побудках. Поскольку известно, что монета честная, можно предположить, что вероятность решки
. - Решение 2.
- Проведём эксперимент 1000 раз. Спящую красавицу будят в среднем 500 раз с орлом и 1000 раз с решкой (т.к. в случае решки спящую красавицу спрашивают 2 раза). Поэтому вероятность решки
.
Решение
— это вероятность решки при всей известной Красавице информации. Вероятностное пространство здесь таково: 1-й день, орёл — ½; 1-й день, решка — ¼; 2-й день, решка — ¼.А
в таком случае — это действительная доля пробуждений с решкой с учётом того, что каждая решка даёт два пробуждения, а каждый орёл — одно.Подобные взвешенные проценты часто встречаются и в жизни. Например: в странах СНГ более 40 % проездов в муниципальном транспорте совершается пенсионерами[3]. Действительно ли 40 % населения на пенсии? Конечно же, нет. Из-за бесплатного проезда, большого количества свободного времени и слабого здоровья пенсионеры — намного более активные пассажиры, чем все остальные. Количество пенсионеров среди пассажиров оценивается в 20 % или даже меньше[4].
Другими словами, если регистрировать каждый проезд, удаляя все предыдущие проезды пассажира, если таковые есть (как стирают память Спящей красавице), получается 20 % пенсионеров. Если ничего не удалять — 40 %. Какая из этих двух цифр правильная — зависит от приложения. Специалистам по рекламе нужна цифра 20 %: «какой процент из увидевших объявление — пенсионеры»[4]. Транспортникам важнее 40 % — «какой процент пассажиропотока ездит бесплатно».
Другие формы парадокса
Парадокс рассеянного водителя
Рассеянный профессор, засидевшись на кафедре[5] до поздней ночи, садится в машину и возвращается домой. Правильный путь — свернуть направо на втором перекрёстке (штраф 0). Если он свернёт на первом перекрёстке, он попадёт в криминальный район — штраф 4. Если пропустит второй перекрёсток, через 20 километров будет мотель, в котором можно переночевать — штраф 3[6]. Проблема в том, что из-за рассеянности и усталости профессор не помнит, проехал он первый перекрёсток или нет, а в свете фар перекрёстки неразличимы[2].
Стратегия «как только увидишь перекрёсток, поворачивать направо», конечно же, была отброшена — получается штраф 4. Куда полезнее стратегия «пропустить оба перекрёстка», со штрафом 3.
Итак, профессор решил воспользоваться второй стратегией. Подъезжает к перекрёстку, и у него возникает мысль: «Вероятность ½, что я на первом перекрёстке, и ½ — что на втором. Тогда средний штраф первой стратегии ½·4 + ½·0 = 2 — лучше, чем ехать в мотель». Парадокс?
Парадокс в том, что первая и третья стратегии — разные. Третья — «в 50 % случаев пропустить первый перекрёсток и свернуть на втором, в 50 % — свернуть на первом».
Спящая красавица 2
Представим себе, что со Спящей красавицей много раз проводят данный эксперимент (без стирания памяти). Рядом с её кроватью стоит прозрачный ящик, в котором она видит монету, но не может трогать. Через некоторое время она замечает, что решка всегда следует парами: если сегодня выпала решка, то завтра будет решка, а послезавтра — орёл или решка с вероятностью ½.
Однажды экспериментатор приходит со стирающим кратковременную память уколом (долговременные наблюдения остались). Считаем, что день выбирается наугад независимо от результатов выпадения монеты. Красавица просыпается — какова вероятность решки?[2]
Ответ 1:
. Вероятностное пространство таково:- орёл — решка — ¼
- орёл — орёл — ¼
- решка — память стёрта в первый день — ¼
- решка — память стёрта во второй день — орёл — 1/8
- решка — память стёрта во второй день — решка — 1/8
Ответ 2:
(так как 2/3 дней Красавица просыпалась с решкой, и 1/3 — с орлом).Здесь нет никакой неоднозначности, правильный ответ 2. В ответе 1 неявно подразумевалось, что вероятности стирания памяти с орлом и с решкой одинаковы, что неверно.
Исходный текст (Delphi)program SleepingBeauty2; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils; function Test : boolean; var days : integer; begin days := Random(100) + 5; repeat Result := boolean(Random(2)); case Result of false : begin dec(days); if days<=0 then Exit; end; true : begin dec(days,2); if days<=0 then Exit; end; end; until false; end; var i, truecount : integer; begin Randomize; truecount := 0; for i:=1 to 1000000 do begin if Test then inc(truecount); end; Writeln(truecount); Readln; end.
См. также
- Задача о двух конвертах
- Самолёт на транспортёре
Примечания
- ↑ Self-locating belief and the Sleeping Beauty problem
- ↑ 1 2 3 Sleeping Beauty problems
- ↑ Данные по Минску: http://bdg.by/news/news.htm?108882,1
- ↑ 1 2 BoldStep.ru — Видео-реклама в общественном транспорте
- ↑ В исходной формулировке этот парадокс упоминает водителя, засидевшегося в баре. Не будем поощрять вождение в пьяном виде и приведём его в другой форме.
- ↑ В американской системе хайвеев довольно сложно совершить разворот — поэтому, заблудившись, можно проехать немалый «крюк». См. например, «НеПутевые заметки о США».
Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии.Категория:- Вероятностные парадоксы
Wikimedia Foundation. 2010.
