Решётка Лича

Решётка Лича — специальная решётка в 24-мерном пространстве, реализующая в этой размерности максимально возможное^[1][2] контактное число, а также в этой размерности доставляющая плотнейший из известных^[3] способов упаковки шаров.

Она является чётной самодвойственной (в частности, унимодулярной) решёткой, с длиной кратчайшего вектора, равной 2, а её контактное число равно^[1][2] 196560.

Конструкция

Конструкция через код Голея

Решётка Лича может быть определена с помощью кода Голея $\mathcal{C}$ типа $[24,12,8]$ как образ при сжатии в $2\sqrt{2}$ раз множества векторов $(a_1,\dots,a_{24})\in \Z^{24}$, таких, что

$a_1+a_2+\cdots+a_{24}\equiv 4a_1\equiv 4a_2\equiv\cdots\equiv4a_{24}\pmod{8}$

и для каждого класса j вычетов по модулю 4, двоичное 24-битовое слово v, заданное как

$v_i=\begin{cases} 1, & a_i \equiv j \mod 4,\\ 0, & a_i \not\equiv j \mod 4, \end{cases}$

принадлежит $\mathcal{C}$.

Конструкция через лоренцево пространство сигнатуры (25,1)

Решётка Лича может быть построена с помощью лоренцева пространства сигнатуры (25,1). А именно, в этом пространстве рассматривается чётная унимодулярная решётка $\mathrm{II}_{25,1}\}$, состоящая из векторов $(x_0,\dots,x_{25})$, у которых все координаты одновременно целые или одновременно полуцелые, и при этом $x_0+\dots+x_{24}-x_{25}\in 2\Z$, иными словами, скалярное произведение с вектором из всех единиц чётно.

Такой решётке принадлежит изотропный вектор $u=(0,1,\dots,24,70)$. Отметим, что в силу изотропности $u\in \langle u\rangle^{\perp}$, поэтому можно рассмотреть факторпространство $\langle u\rangle^{\perp}/\langle u\rangle$. Ограничение скалярного произведения на это факторпространство (опять-таки, в силу изотропности $u$) корректно определено, и оказывается положительно определённым. Образ $(\langle u\rangle^{\perp}\cap \mathrm{II}_{25,1})/\langle u\rangle$ пересечения исходной решётки с ортогональным дополнением при такой факторизации и будет решёткой Лича в получившемся 24-мерном евклидовом пространстве.^[4]

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} «Контактное число шаров и сферические коды» — фильм из серии «Математические этюды»
2. ↑ ^{1 2} Weisstein, Eric W. Leech Lattice (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
3. ↑ Аннотация курса В. В. Успенского Решетка Лича, или По направлению к Монстру
4. ↑ J. H. Conway, N. J. A. Sloane, Sphere packings, lattices and groups, Chapter 26, Theorem 3(b), page 524.

Литература

• Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990.

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.