Соотношение Бретшнайдера

Четырехугольник

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами $\angle A,\angle C$ и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение: $e^2f^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos(\angle A+\angle C)$

Доказательство  

Вне четырехугольника построим внешним образом $\triangle ABF$ подобный $\triangle CAD$ и $\triangle ADE$ подобный $\triangle CAB$, чтобы

$\angle CAD = \angle FBA$,

$\angle ACD = \angle FAB$,

$\angle BAC = \angle ADE$,

$\angle BCA = \angle DAE$.

Из свойства подобных треугольников имеем: AF/a=c/e; BF/a=d/e; AE/d=b/e; DE/d=a/e. Отсюда AF=ac/e; AE=bd/e; BF=DE=ad/e. Сумма углов B и D в четырехугольнике FDBE равна сумме углов $\triangle BAD$, то есть равна 180°. Отсюда FB

Следствия

• Для вписанного 4-угольника соотношение вырождается в теорему Птолемея.
• Если 4-угольник вырождается в треугольник (одна вершина попадает на сторону), то получается теорема Стюарта.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей. Викифицировать статью.

Источник

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 85-86. — ISBN 5-94057-170-0