Лемма Ферма

Ле́мма Ферма́ утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.

Предыстория

У Ньютона этот факт упоминался как т.н. принцип остановки^[1]:

Когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течёт ни вперёд, ни назад. Исаак Ньютон

Выдвинут Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах^[2].

Формулировка

Пусть функция $f:M \subset \R \to \R,$ имеет во внутренней точке области определения $x \in M^0$ локальный экстремум. Пусть также существуют односторонние производные $f'_+(x_0),f'_-(x_0)$ конечные или бесконечные. Тогда

• если $x_0$ — точка локального максимума, то

  $f'_+(x_0) \le 0,\; f'_-(x_0) \ge 0;$

• если $x_0$ — точка локального минимума, то

  $f'_+(x_0) \ge 0,\; f'_-(x_0) \le 0.$

В частности, если функция $f$ имеет в $x_0$ производную, то

$~f'(x_0) = 0.$

Доказательство

Предположим, что $f(x_{0})=max_{x \isin (a,b)}f(x)$. Тогда $\forall x \isin (a,b) : f(x) \le f(x_{0})$.

Поэтому:

$f'_{-}(x_{0})=\lim_{x \to x_{0}-0}\left(\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \right) \ge 0$,

$f'_{+}(x_{0})=\lim_{x \to x_{0}+0}\left(\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \right) \le 0$.

Если производная $f'(x_{0})$ определена, то получаем

$0\le f'_{-}(x_{0})= f'(x_{0})=f'_{+}(x_{0})\le 0$,

то есть $~f'(x_{0})= 0$

Замечание

Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно.

Примеры

• Пусть $f(x) = |x|.$ Тогда $x=0$ — точка локального минимума, и

  $f'_+(0) = 1 \ge 0,\; f'_-(0) = -1 \le 0.$

• Пусть $f(x) = x^2.$ Тогда $x = 0$ — точка локального минимума, и

  $f'(0) = 0.$

• Пусть $f(x) = x^3.$ Тогда

$f'(0) = 0,$

но точка $x = 0$ не является точкой локального экстремума.

См. также

• Теорема Ролля;
• Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции.

Примечания

1. ↑ Фихтенгольц Г. М. Глава XIV. Исторический очерк возникновения основных идей математического анализа // Основы математического анализа. — 4-е изд. — СПб.: «Лань», 2002. — Т. 1. — С. 423. — 448 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — 5000 экз. — ISBN 5-9511-0010-0
2. ↑ Исаак Ньютон Примечания переводчика // Исаак Ньютон. Математические работы = Isaaci Newtoni, Opuscula mathematica, philosophica et philologica, t. I, Lausannae et Geuevae 1744 / Перевод с латинского, вводная статья и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского.. — М.—Л.: ОНТИ, 1937. — С. 318. — 452 с. — (Классики естествознания).