- Кратность (критической точки)
-
Кратность критической точки -гладкой функции — размерность так называемой локальной алгебры градиентного отображения.
Пусть — -гладкая функция от переменных , имеющая своей критической точкой. Соответствующее градиентное отображение задается формулой Введем следующие обозначения:
- — алгебра формальных степенных рядов от переменных с центром в
- — идеал в алгебре гладких функций, порожденный образующими
Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение в алгебру . Локальной алгеброй градиентного отображения в точке называется факторалгебра а её размерность называется кратностью функции в точке
В случае, когда функции имеют в точке линейно независимые градиенты (это условие равносильно тому, что гессиан функции отличен от нуля), кратность , и критическая точка называется невырожденной. Удобно также положить в случае некритической точки.Содержание
Случай
В этом случае кратность критической точки может быть определена следующим условием:
Значение соответствует некритической точке.
Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции начинается с члена то любой элемент представим в виде , где и — многочлен степени задаваемый коэффициентами, т.е.
Теорема Тужрона в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности существуют координаты, в которых функция имеет вид
Теорема деления
Пусть — гладкая функция от переменной , имеющая точку своей критической точкой кратности по переменной , т.е.
Тогда в окрестности точки функция представима в виде
где и — гладкие функции своих аргументов, не обращается в нуль и для всех .
Впервые эта теорема была доказа Вейерштрассом для голоморфных функциий комплексных переменных[1] (теорема деления по Вейерштрассу). Приведённый выше вещественный аналог часто называют теоремой деления по Мальгранжу или по Мазеру.Критические точки отображений
Кратность критической точки -гладкого отображения , где , — это размерность локальной алгебры данного отображения.
Пусть — -гладкое отображение, имеющее своей критической точкой. Отображение задается набором функций от переменных .
Введем следующие обозначения:
- — алгебра формальных степенных рядов от переменных с центром в
- — идеал в алгебре гладких функций, порожденный образующими
Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение в алгебру . Локальной алгеброй отображения в точке называется факторалгебра а её размерность называется кратностью отображения в точке
См. также
Литература
- Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
- Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.
- Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977.
- Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, — М.: Мир, 1968.
- Сборник статей: Особенности дифференцируемых отображений, — М.: Мир, 1968.
- Паламодов В.П. О кратности голоморфного отображения, — Функц. анализ и его прил., 1:3 (1967), стр. 54–65.
- Арнольд В. И. Замечание о подготовительной теореме Вейерштрасса, — Функц. анализ и его прил., 1:3 (1967), стр. 1–8.
Примечания
- ↑ Weierstrass K. Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Проставить интервики в рамках проекта Интервики.
Категории:- Теоремы
- Математический анализ
Wikimedia Foundation. 2010.