Произведение Громова

Произведение Громова расстояние, на котором две геодезические стартующих в одной точке начинают существенно расходиться.

Названно в честь Громова.

Произведение Громова используется, в частности для определения метрики на абсолютной границе метрического пространства.

Определение

Пусть зафиксирована базисная точка $x\in X$ метрического пространства $(X,d)$. Тогда, произведением Громова (относительно точки $x$) точек $y$ и $z$ этого пространства называется величина

$(y,z)_x :=\frac{1}{2} (d(x,y)+d(x,z)-d(y,z)).$

Свойства

• Произведение Громова неотрицательно и симметрично: $\forall x,y,z\in X\quad (y, z)_x =(z, y)_x, \quad (y, z)_x\ge 0.$
• Для случая дерева, $(y,z)_x$ есть расстояние от точки x, до которого совпадают геодезические пути $[xy]$ и $[xz]$.

Литература

• Э. Жис, П. Де ля Арп, Гиперболические группы по Михаилу Громову, М.: Мир, 1992.