Спектр кольца

У этого термина существуют и другие значения, см. Спектр (значения).

Спектром кольца $R$ называется множество всех простых идеалов кольца $R$. Спектр обозначается так: $\operatorname{Spec}\, R$.

Гомоморфизм $\varphi$ из кольца $A$ в кольцо $B$ индуцирует отображение их спектров (но в обратном направлении) $\varphi^*: \operatorname{Spec}\, B \rightarrow \operatorname{Spec}\, A$. Если $\mathfrak{q}$ — простой идеал кольца $B$, то $\varphi^*(\mathfrak{q})=\varphi^{-1}(\mathfrak{q})$ — простой идеал кольца $A$.

Спектр всякого кольца (далее по умолчанию — коммутативного с единицей) имеет структуру локально окольцованного пространства, то есть спектр кольца является топологическим пространством со структурным пучком локальных колец.

Топология Зарисского

Топологию на спектре кольца (топология Зарисского) можно ввести двумя эквивалентными способами. (В алгебраической геометрии оба способа активно используются.)

1 способ. Первый способ ввести топологию Зарисского на спектре кольца — указать базис топологии. Базисом служат подмножества спектра вида $D_f = \{\mathfrak{p}\in \operatorname{Spec}\, R: f\notin \mathfrak{p}\}$, где $f$ — произвольный элемент кольца $R$.

Легко проверяются следующие утверждения:

$D_1 = \operatorname{Spec}\, R$

$D_f\cap D_g = D_{fg}$

$D_f = \emptyset$, тогда и только тогда, когда f — нильпотентный элемент.

Из этих формул следует, что семейство всех подмножеств вида $D_f$ является покрытием спектра, замкнутым относительно пересечений, то есть (после выкидывания пустых подмножеств) является базисом некоторой топологии. Открытыми множествами в этой топологии являются любые (в том числе, любой мощности) объединения множеств из базиса.

Из последних двух формул легко вывести, что для спектров целостных колец никакие две точки не отделимы по Хаусдорфу.

Топология спектра кольца всегда компактна (точнее, квазикомпактна, — этот термин применяется в отсутствие хаусдорфовой отделимости). Если система множеств $\{D_f: f\in A\}$ является покрытием спектра, это означает, что идеал кольца R, порождённый множеством A, содержит единицу. То есть справедливо равенство: $1 = a_1f_1+a_2f_2 + \cdots + a_nf_n$, в котором элементы $f_i$ являются элементами множества A, а $a_i$ — некоторые коэффициенты, элементы кольца R. Но тогда $\{D_{f_1},D_{f_2},\cdots,D_{f_n}\}$ — искомое конечное подпокрытие спектра. Аналогично доказывается (квази)компактность множеств $D_f$. (Следует заметить, что в отсутствие хаусдорфовости, компактное подмножество не обязано быть замкнутым!)

2 способ. Второй способ ввести топологию Зарисского на спектре кольца — указать все замкнутые подмножества. Замкнутыми множествами спектра являются множества вида

$V(\mathfrak{a})=\{\mathfrak{p}\in \operatorname{Spec}\, R: \mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\}$, где $\mathfrak{a}$ — произвольный (не обязательно простой) идеал кольца $R$.

Легко проверяются следующие формулы:

$V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\mathfrak{b})$, где $\mathfrak{a} \mathfrak{b}$ — произведение соответствующих идеалов.

$\cap_{\alpha}V(\mathfrak{a_{\alpha}}) = V(\sum_{\alpha}\mathfrak{a_{\alpha}})$

$V((0)) = \operatorname{Spec}\, R$

$V((1)) = \emptyset$,

из которых следует, что семейство множеств вида $V(\mathfrak{a})$ удовлетворяет аксиомам системы всех замкнутых множеств топологического пространства. Открытыми множествами являются дополнения к этим множествам.

При таком описании топологии легко видеть, что если $\mathfrak{p}_1\subset\mathfrak{p}_2$ — два простых идеала, то точка $\mathfrak{p}_2$ лежит в замыкании точки $\mathfrak{p}_1$. Таким образом, замкнутыми точками в этой топологии являются максимальные идеалы и только они.

Также, используя второе определение топологии Зарисского, легко доказать, что отображение спектров $\varphi^*$, индуцированное (см. выше) гомоморфизмом колец $\varphi: A \rightarrow B$, непрерывно. Для доказательства достаточно проверить формулу

$(\varphi^*)^{-1}(V(\mathfrak{a})) = V(\varphi(\mathfrak{a}))$, где $\mathfrak{a}$ — произвольный идеал кольца A.

Эквивалентность топологий. Для доказательства эквивалентности обеих топологий, достаточно проверить формулы:

$V(\mathfrak{a})^c = \cup_{f\in \mathfrak{a}}D_f$

$\, D_f = V((f))^c$, где $V^c$ обозначает дополнение множества $V$, а (f) — идеал, порождённый элементом f.

Первая из этих формул означает, что подмножество спектра, открытое относительно второй топологии, является открытым и в первой, а вторая — что все множества, составляющие базис первой топологии, являются открытыми и во второй.

Структурный пучок спектра

Структурный пучок на спектре (пучок локальных колец), можно задать с помощью его сечений над произвольным открытым множеством $U$ спектра. Для этого вводится понятие дробей, регулярных относительно простого идела.

Дробь $f/g$ называется регулярной в точке $\mathfrak{p}\in \operatorname{Spec}\, R$, если её знаменатель $g$ не принадлежит $\mathfrak{p}$. Область регулярности дроби $f/g$ — это все простые идеалы кольца (все точки спектра), в которых эта дробь регулярна. Очевидно, она совпадает с открытым множеством $D_g$, таким образом регулярность дроби — это открытое свойство. Следует также отметить, что при таком определении эквивалентные дроби могут иметь различные области регулярности.

Сечение структурного пучка $\mathcal{O}$ над U — это класс эквивалентных дробей, такой что для каждой точки $\mathfrak{p}$ из U имеется представитель этого класса, регулярный в точке $\mathfrak{p}$. Множество всех сечений $\mathcal{O}$ над U имеет структуру кольца.

Доказывается, что кольцо дробей, регулярных в точке $\mathfrak{p}$ совпадает с локализацией $R_{\mathfrak{p}}$ кольца R по простому идеалу $\mathfrak{p}$, таким образом, это кольцо является локальным.

Доказывается, что кольцо сечений структурного пучка над открытым множеством вида $D_f$ совпадает с кольцом $R[f^{-1}]$. В частности, из этого следует, что глобальными сечениями пучка $\mathcal{O}$ являются только элементы кольца R (так как $\operatorname{Spec}\, R$ совпадает с множеством $D_1$).

Гомоморфизм колец индуцирует гомоморфизм спектров, оснащённых топологией и структурным пучком локальных колец. Верно и обратное: каждый такой морфизм спектров двух колец порождён некоторым гомоморфизмом между самими кольцами.

Литература

• Хартсхорн, «Алгебраическая геометрия», Москва, «Мир», 1981 год.
• Мамфорд, «Красная книга о многообразиях и схемах», Москва, «МЦМНО», 2007 год.