Сходимость по мере

Сходи́мость по ме́ре (по вероя́тности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это вид сходимости измеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве).

Определение

Пусть $(X,\mathcal{F},\mu)$ — пространство с мерой. Пусть $f_n,f:X \to \mathbb{R}^m,\; n=1,2,\ldots$ — измеримые функции на этом пространстве. Говорят, что последовательность функций $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ сходится по мере к функции $f$, если

$\forall \varepsilon > 0, \; \lim\limits_{n \to \infty}\mu(\{x \in X \mid \|f_n(x) - f(x)\|>\varepsilon\}) = 0$.

Обозначение: $f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f$.

В терминах теории вероятностей, если дано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ с определёнными на нём случайными величинами $X_n,X,\; n=1,2,\ldots$, то говорят, что $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ сходится по вероятности к $X$, если

$\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0$.

Обозначение: $X_n \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} X$.

Замечание

Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений (случайных элементов), принимающих значения в произвольном метрическом пространстве.

Свойства сходимости по мере

Теорема (Рисс Ф.): Если последовательность функций $f_n$ сходится по мере к $f$, то у неё существует подпоследовательность $f_{n_k}$, сходящаяся к $f$ $\mu$-почти всюду.

Теорема (критерий сходимости по мере): Последовательность функций $f_n$ сходится по мере к $f$ тогда и только тогда, когда для любой подпоследовательности последовательности $f_n$ существует подпоследовательность, которая сходится к $f$ почти всюду.

• Если последовательность функций $f_n$ сходится по мере к $f$, и $\forall n \in \mathbb{N},\; |f_n| \leqslant g$, где $g \in L^p,\; p \geqslant 1$, то $f_n, f \in L^p$, и $f_n$ сходится к $f$ в $L^p$.

• Если в пространстве с конечной мерой последовательность функций $f_n$ сходится $\mu$-почти всюду к $f$, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.

• Если последовательность функций $f_n$ сходится в $L^p$ к $f$, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.

• Если последовательность случайных величин $X_n$ сходится по вероятности к $X$, то она сходится к $X$ и по распределению.