Формула Лейбница (производной произведения)

У этого термина существуют и другие значения, см. Формула Лейбница (значения).

Формула Лейбница для $n$-ой производной произведения двух функций — обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) двух функций на случай $n$-кратного дифференцирования.

Пусть функции $f(z)$ и $g(z)$ — $n$ раз дифференцируемые функции, тогда

$\left(f\cdot g\right)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_n^k f^{(n-k)}g^{(k)}},$ где $C_n^k={n\choose k}={{n!}\over{k!\;(n-k)!}}$ — биномиальные коэффициенты.

Примеры

В случае $n=2$, например, имеем:

$(f\cdot g)''=\sum\limits_{k=0}^{2}{C_2^k f^{(2-k)}g^{(k)}}={f''g}+{2f'g'}+{fg''}.$

При $n=1$ получается известное правило производной произведения:

$(f\cdot g)'={f'g}+{fg'}.$

Доказательство и обобщение

Доказательство формулы осуществляется по индукции с использованием правила произведения. В мультииндексной записи формула может быть записана в более общем виде:

$\partial^\alpha (fg) = \sum_{ \{\beta\,:\,\beta \le \alpha \} } {\alpha \choose \beta} (\partial^{\alpha - \beta} f) (\partial^{\beta} g).$

Эта формула может быть использована для получения выражения для композиции дифференциальных операторов. В самом деле, пусть P и Q — дифференциальные операторы (с коэффициентами, которые дифференцируемы достаточное число раз) и $R = P \circ Q$. Если R также является дифференциальным оператором, то справедливо равенство:

$R(x, \xi) = e^{-{\langle x, \xi \rangle}} R (e^{\langle x, \xi \rangle}).$

Непосредственное вычисление дает:

$R(x, \xi) = \sum_\alpha {1 \over \alpha!} \left({\partial \over \partial \xi}\right)^\alpha P(x, \xi) \left({\partial \over \partial x}\right)^\alpha Q(x, \xi).$

Эта формула также известна как формула Лейбница.

Литература

• Шипачев В. С. Основы высшей математики: Учебное пособие для вузов / Под ред. акад. А. Н. Тихонова. — М.: Высшая школа, 1989. — 479 с. — ISBN 5-06-000048-6
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть 1. — 2-e. — М.: ФАЗИС, 1997. — 554 с. — ISBN 5-7036-0031-6