- Теорема Тонелли — Фубини
-
Теорема Тонелли — Фубини
Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.
Содержание
Формулировка
Пусть даны два пространства с σ-конечными мерами . Обозначим через их произведение. Пусть функция интегрируема относительно меры . Тогда
- функция определена и интегрируема относительно μ1;
- функция определена и интегрируема относительно μ2;
- имеют место равенства
и
Частные случаи
Теория вероятностей
Пусть — вероятностные пространства, и — случайная величина на . Тогда
где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.
Математический анализ
Пусть функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике , то есть . Тогда
где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные.
Доказательство
Любое разбиение λ множества получено некоторыми разбиениями λx отрезка и λy отрезка , при этом объём любого прямоугольника определяется , где Xi,Yj ― некоторые частичные отрезки разбиений. Тогда рассмотрим следующие оценки интеграла и нижних и верхних интегральных сумм функции и :
Тогда при интегрируемости f по , то есть равенстве из вышеуказанных оценок интеграл также существует и имеет такое же значение, как иСм. также
Литература
- Зорич В.А. Математический анализ. — М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — С. 131-138.
Wikimedia Foundation. 2010.
Теорема Тонелли — Теорема Тонелли Фубини в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным. Содержание 1 Формулировка 2 Частные случаи … Википедия
Анализ функций многих переменных — Эта статья или раздел грубый перевод статьи на другом языке (см. Проверка переводов). Он мог быть сгенерирован программой переводчиком или сделан человеком со слабыми познаниями в языке оригинала. Вы можете помочь … Википедия
Интеграл Даниэля — Одна из основных трудностей в использовании традиционного интеграла Лебега состоит в том, что его применение требует предварительной разработки подходящей теории меры. Существует другой подход, изложенный Даниэлем (Daniell) в 1918 году в его… … Википедия
Кратный интеграл — В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от переменных. Например: Замечание: кратный интеграл − это определенный интеграл, при его вычислении всегда получается число. Содержание 1… … Википедия
Интеграл Даниеля — Одна из основных трудностей в использовании традиционного интеграла Лебега состоит в том, что его применение требует предварительной разработки подходящей теории меры. Существует другой подход, изложенный Даниелем (англ.) в 1918 году в его… … Википедия
Независимость (теория вероятностей) — У этого термина существуют и другие значения, см. Независимость (значения). В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные … Википедия
Произведение мер — в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами. Содержание 1 Построение 2 Замечания 3 Пример … Википедия
Многомерное исчисление — (также известное как многовариантное исчисление) является расширением исчисления функций одной переменной в исчисление функций нескольких переменных: функции, которые дифференцируются и интегрируются, затрагивая несколько переменных, а не одну.… … Википедия