Тангенциальное ускорение

Разложение ускорения $\mathbf a(t)\ \$ на тангенциальное $\mathbf a_\tau\ \$и нормальное$\mathbf a_n$; ($\mathbf \tau$ — единичный касательный вектор).

Тангенциа́льное ускоре́ние  — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости. (Нормальная компонента характеризует изменение направления скорости.) Равно произведению единичного вектора, направленного по скорости движения, на производную модуля скорости по времени. Таким образом, направлено в ту же сторону, что и вектор скорости при ускоренном движении (положительная производная) и в противоположную при замедленном (отрицательная производная).

Обозначается обычно символом, выбранным для ускорения, с добавлением индекса, обозначающего тангенциальную компоненту: $\mathbf a_\tau\ \$ или $\mathbf a_t\ \$, $\mathbf w_\tau\ \$,$\mathbf u_\tau\ \$ и т.д.

Иногда используется не векторная форма, а скалярная — $a_\tau\ \$, обозначающая проекцию полного вектора ускорения на единичный вектор касательной к траектории, что соответствует коэффициенту разложения по сопутствующему базису.

Формула

Величину тангенциального ускорения - в смысле проекции вектора ускорения на единичный касательный вектор траектории - можно выразить так:

$a_\tau = \frac{dv}{dt},$

где $v\ = dl/dt$ - путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

Если использовать для единичного касательного вектора обозначение $\mathbf e_\tau\$, то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

$\mathbf a_\tau = \frac{dv}{dt} \mathbf e_\tau.$

Вывод

Вывод 1

Выражение для тангенциального ускорения можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости, представленный в виде $\mathbf v = v\, \mathbf e_\tau$ через единичный вектор касательной $\mathbf e_\tau$:

$\mathbf a = \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \frac{d (v \, \mathbf e_\tau)}{dt} = \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \mathbf e_\tau + v \frac{d \mathbf e_\tau}{dt} = \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \mathbf e_\tau + v \frac{d \mathbf e_\tau}{dl} \frac{dl}{dt} = \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \mathbf e_\tau+ \frac{v^2}{R}\mathbf e_n\ ,$

где первое слагаемое — тангенциальное ускорение, а второе — нормальное ускорение.

Здесь использовано обозначение $e_n\$ для единичного вектора нормали к траектории и $l\$ - для текущей длины траектории ($l = l(t)\$); в последнем переходе также использовано очевидное

$dl/dt = v\$

и, из геометрических соображений,

$\frac{d \mathbf e_\tau}{dl} = \frac {\mathbf e_n}{R}.$

Вывод 2

Хотя вывод 1 достаточно прост, особенно в части тангенциального ускорения (первого члена), всё же для лучшего понимания существа дела можно привести еще альтернативный вывод. Он сводится к тому, что, рассмотрев изменение вектора скорости за малое время $dt\$, мы замечаем, что, если траектория гладкая (что предполагается), то изменения направления вектора $\mathbf v\$ дадут в проекции на касательную малую величину не ниже второго порядка по $dt\$, которой можно по этому пренебречь. В то же время изменение длины вектора $\mathbf v\$ будет отличаться от проекции изменения $\mathbf v\$ на касательную тоже на величину не ниже второго порядка. То и другое следует из того, что угол вектора $\mathbf v\$ к касательной будет не ниже первого порядка по $dt\$. Отсюда сразу же следует искомая формула.

Говоря менее строго, проекция $\mathbf v\$ на касательную при малых $dt\$ будет практически совпадать с длиной вектора $\mathbf v\$, поскольку угол отклонения этого вектора от касательной при малых $dt\$ всегда мал, а значит косинус этого угла можно считать равным единице ^[1].

Замечания

Легко заметить, что абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

Примечания

1. ↑ Для определенности можем выбрать ту касательную, на которой лежит $\mathbf v(t)\$, тогда $\mathbf v(t+dt)\$ будет, очевидно, составлять с ним - а значит и с ней - малый угол из-за малости $dt\$; это тем более будет выполняться для любых промежутков времени, меньших чем $dt\$.

См. также

• Нормальное (центростремительное) ускорение

Для улучшения этой статьи по физике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.