Матрица Тёплица

В линейной алгебре, матрица Тёплица, или диагонально-постоянная матрица, названная в честь немецкого математика Отто Тёплица — это матрица, в которой на всех диагоналях, параллельных главной, стоят равные элементы.

В общем виде матрица Теплица размера $n\times n$ имеет вид:

$A=\begin{bmatrix} a_0 & a_{-1} & a_{-2} & \ldots & \ldots &a_{-n+1} \\ a_1 & a_0 & a_{-1} & \ddots & & \vdots \\ a_2 & a_1 & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a_{-1} & a_{-2}\\ \vdots & & \ddots & a_1 & a_0 & a_{-1} \\ a_{n-1} & \ldots & \ldots & a_2 & a_1 & a_0 \end{bmatrix}.$

То есть выполняется соотношение:

$a_{i,\,j}=a_{i-1,\,j-1}.$

Замечания

Две матрицы Тёплица можно сложить за $\Theta(n)$ операций. Матрицу Теплица можно умножить на вектор за $\Theta(n\log n)$ операций, а умножение матриц Тёплица можно провести за $\Theta(n^2)$ операций.

Система линейных уравнений вида $Ax=b$ может быть решена методом Левинсона за время $\Theta(n^2)$.^[1]

Матрицы Тёплица также связаны с рядами Фурье, потому что оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов, спроецированный на конечномерное пространство, можно представить такой матрицей.

См. также

• Ганкелева матрица

Примечания

1. ↑ Krishna, H.; Wang, Y. (1993). «The Split Levinson Algorithm is Weakly Stable». SIAM Journal on Numerical Analysis 30 (5): 1498–1508. DOI:10.1137/0730078.

Ссылки

• Toeplitz and Circulant Matrices: A Review, by R. M. Gray.