Метод бесконечного спуска

В математике, метод бесконечного спуска — это метод доказательства от противного, основанный на том, что множество натуральных чисел вполне упорядочено.

Часто метод бесконечного спуска используется для доказательства того, что у некоторого уравнения нет решений по следующей схеме. Из предположения, что решение существует, вытекает существование другого решения, которое в некотором смысле меньше. Тогда можно построить бесконечную цепочку решений, каждое из которых меньше предыдущего. Это вызывает противоречие с тем что в любом подмножестве множества натуральных чисел есть минимальный элемент, значит предположение о существовании начального решения неверно.

Метод бесконечного спуска был существенно развит Пьером Ферма.

Примеры

Доказательство иррациональности √2

От противного. Предположим, что $\sqrt{2}$ — рациональное число. Это означает, что его можно записать в следующем виде:

$\sqrt{2} = \frac{p}{q},$

для некоторых натуральных чисел $p$ и $q$. Тогда

$2 = \frac{p^2}{q^2}$

$2q^2 = p^2, \,$

Это означает, что $p$ — чётное число. Пусть $p=2r$ и

$\displaystyle p^2 = (2r)^2 = 4r^2.$

Подставляем вместо $p^2$:

$2q^2 = 4r^2, \,$

Делим на 2 обе части:

$q^2 = 2r^2, \,$

значит, $q$ — чётное число. Таким образом, исходные числа $p$ и $q$ можно одновременно разделить на 2 и получить другое представление $\sqrt{2}$. С полученными числами можно проделать ту же операцию, и так далее бесконечное число раз. Таким образом строится бесконечно убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно. Значит, $\sqrt{2}$ не является рациональным числом. Следовательно, $\sqrt{2}$ иррационален.

См. также

• Доказательство от противного

Ссылки

• Л. Курляндчик, Г. Розенблюм Метод бесконечного спуска // Квант. — 1978. — № 1. — С. 24-27.