Прецессия Томаса

Преце́ссия То́маса — кинематический эффект специальной теории относительности, проявляющийся в изменении ориентации векторов, связанных с неинерциальной системой отсчёта, относительно лабораторной системы отсчёта^[1]. Использован Люэлином Томасом в 1926 году для объяснения спин-орбитального взаимодействия электрона в атоме^[2]. Если на вращающийся гироскоп действует сила, изменяющая его скорость, но отсутствует момент силы, то в классической механике такой гироскоп при движении будет сохранять ориентацию собственного момента вращения (спина). В теории относительности это уже не так, и при изменении скорости гироскопа будет происходить и изменение вектора его спина. Математически этот эффект связан с групповыми свойствами преобразований Лоренца — их некоммутативностью.

Описание эффекта

Пусть неинерциальная система отсчёта в момент времени t имеет относительно лабораторной (инерциальной) системы отсчёта K скорость v, а в момент времени t+dt — скорость v+dv. Свяжем в эти моменты времени с неинерциальной системой две сопутствующие ей инерциальные системы K' и K", движущиеся со скоростями $\mathbf{v}$ и v+dv. Обозначим через $\mathbb{L}(\mathbf{v})$ матрицу преобразования Лоренца. Пусть скорость системы K" относительно K' равна dv'. Переход от лабораторной системы отсчёта к системе K', а затем от системы K' к системе K" описывается произведением лоренцевских матриц:

$\mathbb{L}(d\mathbf{v}')\,\mathbb{L}(\mathbf{v})=\mathbb{R}(\mathbf{n}, d\phi)\,\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v}),$

где $\mathbb{R}(\mathbf{n}, \phi)$ — матрица 3-мерного вращения декартовых осей вокруг единичного вектора $\mathbf{n}$ на угол $\phi$ и последовательность матриц обратна последовательности выполняемых преобразований. Параметры этого вращения равны:

$\mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma-1}{v^2}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}],$

где dv и dv' связаны стандартным релятивистским законом сложения скоростей, а $\gamma=1/\sqrt{1-\mathbf{v}^2/c^2}$ — лоренцевский фактор и $c$ — скорость света. Таким образом, композиция чистых преобразований Лоренца в общем случае равна не чистому преобразованию Лоренца (бусту), а композиции буста и поворота. Связано это с тем, что группа Лоренца описывает повороты в 4-мерном пространстве-времени. В зависимости от того, в какой плоскости происходит вращение, это может быть буст, 3-мерное вращение или их комбинация. Вращение, возникающее в результате композиции лоренцевских бустов, называется вигнеровским вращением.

Пусть с неинерциальной системой отсчёта связан некоторый вектор S. Если при изменении скорости системы все векторы переносятся параллельным образом с точки зрения сопутствующих систем отсчёта, то в результате вигнеровского вращения происходит поворот этих векторов, который можно записать в форме следующего уравнения Томаса:

$\frac{d\mathbf{S}}{dt}=-\frac{\gamma-1}{v^2}\,[\mathbf{v}\times\mathbf{a}]\times\mathbf{S},$

где a=dv/dt — ускорение относительно лабораторной системы отсчёта. В случае равномерного движения по окружности с угловой скоростью $\omega$, скорость и ускорение перпендикулярны друг другу. В силу уравнения Томаса происходит поворот вектора S с постоянной угловой скоростью

$\Omega = -(\gamma-1)\,\omega.$

В случае гироскопа именно это вращение вектора его момента импульса (спина) собственно и называется прецессией Томаса.

Вигнеровское вращение осуществляется после выполнения лоренцевского буста со скоростью v+dv. Поэтому требуется аккуратная интерпретация поворота на угол $d\phi$ относительно лабораторной системы отсчёта. В литературе встречается различные вариации уравнения Томаса. Например, в статьях Г. Б. Малыкина^[3] и В. И. Ритуса^[4] предлагается разделить правую часть уравнения Томаса на фактор $\gamma$ для учёта эффекта замедления времени при переходе от сопутствующей системы отсчёта (относительно которой происходит вигнеровское вращение) к лабораторной системе. В работе С. С. Степанова^[5] дополнительно учитывается эффект лоренцевского сокращения длины и трансформационные свойства спина. При этом уравнение модифицируется более существенно и в случае спина принимает форму уравнения переноса Ферми.

См. также

• Форма релятивистских объектов
• Лоренцево сокращение
• Релятивистское замедление времени
• Неинерциальная система отсчёта

Примечания

1. ↑ Мёллер К. Теория относительности. — М.: Атомиздат, 1975. — 400 с.
2. ↑ Джексон Д. Классическая электродинамика. — М.: Мир, 1965. — 702 с.
3. ↑ Малыкин Г. Б. Прецессия Томаса: корректные и некорректные решения // УФН. — 2006. — Т. 176. — № 8. — С. 865–882.
4. ↑ Ритус В. И. О различии подходов Вигнера и Мёллера к описанию прецессии Томаса // УФН. — 2007. — Т. 177. — № 8. — С. 105-112.
5. ↑ Степанов С.С. «Прецессия Томаса. Как она выглядит на самом деле.» (2011)pdf

Литература

• Малыкин Г.Б. Прецессия Томаса: корректные и некорректные решения // УФН. — 2006. — Т. 176. — № 8. — С. 865–882.

• Степанов С.С. Прецессия Томаса для спина и стержня // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 2012. — Т. 43. — № 1. — С. 246-282.