Уравнение Янга-Бакстера

Уравнение Янга-Бакстера — уравнение, относящееся к классу точно решаемых задач. Имеет вид локальных преобразований эквивалентности, которые появляются в самых разнообразных случаях, таких как электрические цепи, теория узлов и теория кос, спиновые системы. Получило своё имя от независимых работ Ч. Н. Янга 1968 г. и Р. Д. Бакстера 1971 г. по статистической механике.

Зависимое от параметров уравнение Янга-Бакстера

Обозначим через A унитарную ассоциативную алгебру. Зависимое от параметра уравнение Янга-Бакстера - уравнение для R(u), зависимый от параметра обратный элемент тензорного произведения $A \otimes A$ (здесь, u - параметр, который обычно изменяется по всем вещественным числам в случае аддитивного параметра, или по всем положительным вещественным числам в случае мультипликативного параметра). Уравнение Янг-Бакстера

$R _ {12} (u) \ R _ {13} (u+v) \ R _ {23} (v) = R _ {23} (v) \ R _ {13} (u+v) \ R _ {12} (u),$

для всех величин u и v, в случае аддитивного параметра. При некоторой величине параметра R(u) может превратиться в одномерный проектор, это приводит к квантовому детерминанту. Для мультипликативного параметра уравнение Янг-Бакстера

$R _ {12} (u) \ R _ {13} (uv) \ R _ {23} (v) = R _ {23} (v) \ R _ {13} (uv) \ R _ {12} (u),$

для всех величин u и v, где R₁₂(w) = ϕ₁₂(R(w)), R₁₃(w) = ϕ₁₃(R(w)), и R₂₃(w) = ϕ₂₃(R(w)), для всех величин параметра w, и $\phi _ {12}: A \otimes A \to A \otimes A \otimes A$, $\phi _ {13}: A \otimes A \to A \otimes A \otimes A$, и $\phi _ {23}: A \otimes A \to A \otimes A \otimes A$, являются морфизмами алгебры, определенными как

$\phi _ {12} (a \otimes b) = a \otimes b \otimes 1,$

$\phi _ {13} (a \otimes b) = a \otimes 1 \otimes b,$

$\phi _ {23} (a \otimes b) = 1 \otimes a \otimes b.$

В некоторых случаях детерминант R(u) может исчезнуть при определённых величинах спектрального параметра u = u₀. Некоторые R матрицы превращаются в одномерный проектор при u = u₀. В этом случае может быть определен квантовый детерминант.

Независимое от параметра уравнение Янга-Бакстера

Обозначим через A, унитарную ассоциативную алгебру. Независимое от параметра уравнение Янга-Бакстера - уравнение для R, обратный элемент тензорного произведения $A \otimes A$. Уравнение Янга-Бакстера

$R _ {12} \ R _ {13} \ R _ {23} = R _ {23} \ R _ {13} \ R _ {12},$

где R₁₂ = ϕ₁₂(R), R₁₃ = ϕ₁₃(R), и R₂₃ = ϕ₂₃(R).

Пусть V, модуль A. Пусть $T : V \otimes V \to V \otimes V$ линейная карта, удовлетворяющая $T (x \otimes y) = y \otimes x$ для всей $x, y \in V$. Тогда представление группы кос, B_n, может быть построено на $V^{\otimes n}$ $\sigma_i = 1^{\otimes i-1} \otimes \check {R} \otimes 1^{\otimes n-i-1}$ для $i = 1, \dots, n-1$, где $\check {R} = T \circ R$ на $V \otimes V$. Это представление может использоваться, чтобы определить квазиинварианты кос, узлов.

Ссылки

• H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG, 1989, Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9.
• Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0.
• Jacques H.H. Perk and Helen Au-Yang, "Yang–Baxter Equations", (2006), arΧiv:math-ph/0606053.