- Четверная группа Клейна
-
Четверна́я гру́ппа Кле́йна — группа четвёртого порядка, играет важную роль в высшей алгебре.
Содержание
Определение
Бинарная операция между элементами четверной группы Клейна задается следующей таблицей Кэли[1]:
Здесь — элементы четверной группы Клейна. В этой таблице в первом столбце указан первый участник бинарной операции, в первой строке указан второй участник бинарной операции, на пересечении строки и столбца (белый фон) находится результат бинарной операции, задающей группу.
Как видно из таблицы, элемент является единицей группы. Группа Клейна является конечной коммутативной группой. Порядок каждого её элемента, отличного от единицы, равен 2, поэтому группа не является циклической.
Обозначение
Обозначается .
Значение в математике
Является прямым произведением циклических групп второго порядка × . Представляет собой простейшую группу диэдра [2].
Является наименьшей по порядку нециклической группой.
Любая группа четвертого порядка изоморфна либо циклической группе, либо четверной группе Клейна.
Симметрическая группа имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь две нормальные подгруппы — знакопеременную группу и четверную группу Клейна , состоящую из подстановок ( ), (12)(34), (13)(24), (14)(23)[2].
Данная группа встречается и во многих других разделах математики. Примеры изоморфных ей групп:
- Приведённая система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1, 3, 5, 7.
- Группа самосовмещений или поворотов ромба (в пространстве)[3].
- Группа поворотов тетраэдра на угол вокруг всех трёх рёберных медиан (вместе с тождественным поворотом)[4].
История
Была введена в математику Феликсом Клейном в 1884 г.[5] .
Примечания
- ↑ П. С. Александров. Введение в теорию групп. М.: «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 1 «Понятие группы», п. 2 «Вводные примеры», п. 4 «Клейновская группа четвертого порядка», c. 23;
- ↑ 1 2 Зайцев В. Ф. «Введение в современный групповой анализ», Санкт-Петербург, 1996, УДК 517.9, п. 2 «Дискретные группы преобразований», c. 10
- ↑ П. С. Александров «Введение в теорию групп», М., «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 3 «Случай вырождения: группы поворотов отрезка и ромба», c. 71;
- ↑ П. С. Александров «Введение в теорию групп», М., «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 4 «Группа поворотов правильного тетраэдра», c. 75;
- ↑ Клейн Ф. «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени.» — М.: «Наука», 1989. — 336 с.;
Категории:- Теория групп
- Абстрактная алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.