Метод Гаусса — Жордана

Метод Гаусса — Жордана

Метод Гаусса — Жордана используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана^[1].

Алгоритм

1. Выбирают первую колонку слева, в которой есть хоть одно отличное от нуля значение.
2. Если самое верхнее число в этой колонке есть нуль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
3. Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранной колонки.
4. Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) нуль.
5. Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
6. После повторения этой процедуры n − 1 раз получают верхнюю треугольную матрицу
7. Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
8. Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).
9. Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.

Пример

Для решения следующей системы уравнений:

$\left\{\begin{array}{ccccccl} a &+& b &+& c &=& 0\\ 4a &+& 2b &+& c &=& 1\\ 9a &+& 3b &+& c &=& 3 \end{array}\right.$

запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 4 & 2 & 1 & | & 1 \\ 9 & 3 & 1 & | & 3 \end{pmatrix}$

Проведём следующие действия:

• К строке 2 добавим: −4 × Строку 1.
• К строке 3 добавим: −9 × Строку 1.

Получим:

$\begin{pmatrix} 1 &\ 1 &\ 1 & | & 0 \\ 0 & -2 & -3 & | & 1 \\ 0 & -6 & -8 & | & 3 \end{pmatrix}$

• К строке 3 добавим: −3 × Строку 2.
• Строку 2 делим на −2

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | &\ 0 \\ 0 & 1 & {3 \over 2} & | & -{1 \over 2} \\ 0 & 0 & 1 & | &\ 0 \end{pmatrix}$

• К строке 1 добавим: −1 × Строку 3.
• К строке 2 добавим: −3/2 × Строку 3.

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & | &\ 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -{1 \over 2} \\ 0 & 0 & 1 & | &\ 0 \end{pmatrix}$

• К строке 1 добавим: −1 × Строку 2.

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | &\ {1 \over 2} \\ 0 & 1 & 0 & | & -{1 \over 2} \\ 0 & 0 & 1 & | &\ 0 \end{pmatrix}$

В правом столбце получаем решение:

$a = \frac{1}{2} \; ; \ b = -\frac{1}{2} \; ; \ c = 0$ .

Ссылки

• Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. "Schaum's Outlines: Linear Algebra". Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69-80.

Примеры реализации алгоритма:

• Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Matlab
• Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Python

Примечания

1. ↑ Транскрипция фамилии как «Жордан» является ошибочной, но она общепринята и встречается в большинстве русскоязычных источников.