Гармоническая четвёрка

Пример гармонической четвёрки точек A, B, C и D.

Гармоническая четвёрка точек — чётверка точек на проективной прямой, двойное отношение которых $(ABCD)=-1$. Гармонической четвёркой прямых называется четвёрка прямых $a, b, c, d$ в проективной плоскости, проходящих через одну точку $S$, для которых любая четвёрка точек $A,B,C,D$, такая, что $A\in a, B\in b, C\in c, D\in d$, находящаяся на одной прямой, является гармонической.

Свойства

• Если гармоническая четвёрка прямых пересечена прямой, то на этой прямой образуется гармоническая четвёрка точек.
• На каждой стороне полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек.
• На каждой диагонали полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек.

Гармоническая четвёрка на расширенной евклидовой плоскости

• Если точка $D_\infty$ несобственная, то четвёрка $A,B,C,D_\infty$ гармоническая, если $B$ — середина отрезка $AC$.
• Если $ABCD$ — полный четырёхвершинник и его диагональные точки $P_\infty,Q_\infty$ — несобственные, то на расширенной евклидовой плоскости $ABCD$ — параллелограмм, а из его гармонических свойств следует, что точка пересечения его диагоналей делит их пополам.
• Если $ABCD$ — полный четырёхвершинник, у которого одна диагональная точка $R_\infty=BC\cap AD$ — несобственная, $P=AB\cap CD, Q=AC\cap BD$, то на расширенной евклидовой плоскости $ABCD$ — трапеция, а из его гармонических свойств следует, что $PQ$ делит $AD$ пополам.

Построение

Для любых трёх точек, лежащих на одной прямой, пользуясь гармоническими свойствами полного четырёхвершинника, можно построить 4-ю точку так, что получиться гармоническая четвёрка точек.

Литература

• Базылев, Дуничев, Иваницкая Геометрия, часть 2. — М.: Просвещение, 1975.

• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 6-е изд.. — М., 1978.

• Певзнер С.Л. Проективная геометрия. — М.: Просвещение, 1980.

• Постников М. М. Аналитическая геометрия. — 1973.