- Душа (дифференциальная геометрия)
-
Душа — компактное тотально выпуклое тотально геодезическое подмногообразие риманова многообразия , являющееся его деформационным ретрактом.
Обычно предполагается, что — полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.
Содержание
Примеры
- Любое компактное многообразие является своей душой.
- У евклидовa пространствa Rn любая точка является его душой.
- У параболоида M = {(x,y,z) : z = x2 + y2}, начало координат (0,0,0) — душа M. При этом не любая точка x, принадлежащая M, является его душой, так как могут существовать геодезические петли, начинающиеся в точке x.
- У бесконечного цилиндра M = {(x,y,z) : x2 + y2 = 1} любая «горизонтальная» окружность {(x,y,z) : x2 + y2 = 1} с фиксированной z является душой M.
История
Термин «душа» был введён Чигер (англ.) и Громол (англ.) в 1972 году[1] в статье, где они в частности доказали теорему о душе. Эта теорема обобщает более раннюю теорему Громола и Мейера[2].
В той же статье Чигером и Громолом была сформулирована гипотеза о душе, которая была доказана Григорием Перельманом[3] в 1994 году очень кратко и красиво.
Свойства
Ниже предполагаем, что — это полное связное Риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.
- Теорема о душе утверждает:
- Всякое (M, g) имеет душу S. Более того: многообразие M диффеоморфно нормальному расслоению S.
- Душа, вообще говоря, не определяется однозначно многообразием (M, g), но любые две души (M, g) изометричны.
- Последнее доказал Шарафутдинов в 1979 году[4], построив так называемую ретракцию Шарафутдинова; это 1-Липшицев деформационный ретракт
- Ретракция Шарафутдинова являтся римановой субмерсией. В частности если имеет хоть одну точку со строго положительной секционной кривизной, то его душа есть точка и само многообразие гомеоморфно евклидову пространству.
Связанные открытые вопросы
- Гипотеза о двойной душе утверждает[5], что любое компактное многообразие неотрицательной секционной кривизны можно покрыть двумя расслоениями на диски.
Примечания
- ↑ Cheeger, Jeff & Gromoll, Detlef (1972), "«On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature»", Annals of Mathematics. Second Series Т. 96: 413-443, MR0309010, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1970819
- ↑ Gromoll, Detlef & Meyer, Wolfgang (1969), "«On complete open manifolds of positive curvature»", Annals of Mathematics. Second Series Т. 90: 75-90, MR0247590, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1970682
- ↑ Perelman, Grigori (1994), "«Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll»", Journal of Differential Geometry Т. 40 (1): 209-212, MR1285534, ISSN 0022-040X, <http://www.intlpress.com/JDG/archive/1994/40-1-209.pdf>
- ↑ Шарафутдинов, V. A. (1979), "«О выпуклых множествах в многообразии неотрицательной кривизны»", Матем. заметки Т. 26 (1): 129—136
- ↑ K. Grove, Geometry of and via smmetries
Категории:- Риманова (и псевдориманова) геометрия
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.